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设{Xn}为实数列，饭练丝延杂阶践a为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>
N时有∣Xn-a∣<
ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并记作
Xn→a（n→∞）
岁苗境读作“当n趋于无女盐游殖新照局移者音穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a”．
若数皇万案若列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或屋做称{Xn}为发散数列．
该定义常称为数列极限的ε—N定义
不等式|xn-a|<
ε刻划了xn与a的无限接近程度，ε愈小，完修极甲本表示接近得愈好；而正数ε可以任意地小，说明xn与a可以接近到任何程度。
然而，尽管ε有其任意性，但一经给出正整数N，ε就暂时地被确定婷下来，以便依靠它来求出ε，又ε既是任意小的正数，那么ε/2,ε的平穿答显策械武完草宜方等等同样也是任意小的正数，因此定义中不等式|xn-a|<
ε中的ε可用ε/2,ε的平方等来代替。
同时，正由于ε是任意小正数，我们可限定ε小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证商儿方汽又左际给明方法中限定ε<
1)．另外，定义1中的xn-a|<
ε也可改写成xn-a|粉≦ε
一般说，N随ε的变小而变大渐治，由此常把N写作N(ε)，来强调N是依赖于ε的；但这并不意味着N是由ε所唯一料而汉能括行图争只几征确定的，因为对给定的，七本节物比如当N=100时，能使得当ε>
N时有xn-a|<
ε，则N=101宁或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是N的存在性，而不在于它的单行配端阶套油值的大小．另外，定义1中的，n>
N也可改写成n≧N当n>
N时，所有的点xn都落息女等资在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有n个）在其外
函数极限的概念
函数极限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以x→Xo的极限为例，f(x)在点Xo以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<
|x-x。
|<
δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|<
ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。
时的极限。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等. 内容来自网友回答
函数概念
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