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例如x2＋y2≥2xy，sinx≤1，ex＞0，2x＜3等。
根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；只要有一边是超越式，就称为超越不等式。
例如lg(1＋x)＞x是超越不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)（其中不等号也可以为＜，≥，＞中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
不等式的最基本性质有：①如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；②如果x＞y，y＞z；那么x＞z；③如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y＋z；④如果x＞y，z＞0，那么xy＞yz；⑤如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz。
由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有：
柯西不等式：对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn）2≤（x12＋x22＋…＋xn2）（y12＋y22＋…＋yn2）。
排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S＝x1yn＋x2yn-1＋…＋xny1，M＝x1yi1＋x2yi2＋…＋xnyin，L＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，那么恒有S≤M≤L。
根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。
主要的有：①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。
②如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式F（x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。
③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（x）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不）与不等式H(x)F（x）＞H（x）G（x）同解。
④不等式F（x）G（x）＞0与不等式同解；不等式F（x）G（x）＜0与不 不等式分为严格不等式与非严格不等式。
一般地，用纯粹的大于号、小于号“＞”“＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号） “≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不一个不等式. 如:不等式.不等式不一定只有「>」.又同理可证:A>C,最大. 不等式是不包括等号在内的式子比如：（不等号
大于等于号，小于等于号）只要用这些号放在式子里就是不等式咯．． 1.符号： 不等式两边都乘以等号的方向。
2.确定解集： 比两个值都大，就比大的还大； 比两个值都小，就比小的还小； 比大的大，比小的小，无解； 比小的大，比大的小，有解在中间。
三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
3.另外，也可以在数轴上确定解集： 把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。
有几个就要几个。
1.不等式的基本性质: 性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性). 性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性). 性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;
如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d. 性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且. 性质7:如果a>等于bc>b那么c大于等于a 例1:判断下列命题的真假,并说明理由. 若a>b,c=d,则ac2>bd2;
(假) 若,则a>b;
(真) 若a>b且ab<0,则;
(假) 若a若,则a>b;
(真) 若|a|b2;
(充要条件) 命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性. a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥) 说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备. 例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;
(2)a≥0>b;
(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想 几个重要不等式(二)柯西不等式 ，当且仅当bi=lai(1£i£n)时取等号 柯西不等式的几种变形形式 1.设aiÎR,bi>0(i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai(1£i£n)时取等号 2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等号 例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证： 证明：左边= 例2.对实数a1,a2,…,an,求证： 证明：左边= 例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证： 证明：左边³ 例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证： 证明：左边=
³
=
= 例5.若n是不小于2的正整数，试证： 证明： 所以求证式等价于 由柯西不等式有 于是： 又由柯西不等式有 < 例6.设x1,x2,…,xn都是正数(n³2)且，求证： 证明：不等式左端即
(1) ∵，取，则
(2) 由柯西不等式有
(3) 及 综合(1)、(2)、(3)、(4)式得： 三、排序不等式 设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;
r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有： a1bn+a2bn-1+…+anb1£a1br1+a2br2+…+anbrn£a1b1+a2b2+…+anbn 反序和£乱序和£同序和 例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小 解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a 例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有 证明：取两组数a1,a2,…,an； 其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有 例3.已知a,b,cÎR+求证： 证明：不妨设a³b³c>0,则>0且a12³b12³c12>0 则 例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证： 证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b1
如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d. 性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且. 例1:判断下列命题的真假,并说明理由. 若a>b,c=d,则ac2>bd2;
(假) 若,则a>b;
(真) 若a>b且ab<0,则;
(假) 若a若,则a>b;
(真) 若|a|b2;
(充要条件) 命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性. a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥) 说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备. 例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;
(2)a≥0>b;
(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想. 练习: 1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>) 2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>) 3.判断下列命题的真假,并说明理由. (1)若a>b,则a2>b2;
(假)(2)若a>b,则a3>b3;
(真) (3)若a>b,则ac2>bc2;
(假)(4)若,则a>b;
(真) 若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真). 与邓量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系，他们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用。
内容来自网友回答
谁能告诉我这个基本不等式法 那个不等式怎么来的？？ 高中数学不等式！求助学霸！谢谢！！
基本不等式及其应用
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