格物学 高中知识点

如何用重要不等式和基本不等式证明一些不等式

格物自测！为高考，从高一就准备自己的知识点储备！
如何用重要不等式和基本不等式证明一些不等式
高中阶段所说的重要不等式，一般指均值不等式、柯西不等式、排序不等式;
如果参加奥数培训，还需接触到Jensen不等式、赫尔德不等式、权方和不等式、贝努利不等式、嵌入不等式(即母不等式)，等等。
以下举几例: (1)基本不等式应用 a、b、c∈R+， 证明:a^5+b^5+c^5≥a^3bc+ab^3c+abc^3. [证明]依均值不等式得 3a^5+b^5+c^5≥5a^3bc 3b^5+c^5+a^5≥5ab^3c 3c^5+a^5+b^5≥5abc^3 三式相加，并两边除以5，得 a^5+b^5+c^5≥a^3bc+ab^3c+abc^3. (2)柯西不等式应用 x、y、z是正数，且x+y+z=√(xyz). 证明:xy+yz+zx≥9(x+y+z). [证明]依柯西不等得 xy+yz+zx =xyz(1/x+1/y+1/z) =(x+y+z)[(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)] 故不等式得证. (3)排序不等式应用 已知a、b、c∈(0，+∞)， 求证a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab≥a^1. [证明]不妨设a≥b≥c>0 a^12≥b^12≥c^12，且1/bc≥1/ca≥1/ab. ∴a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab ab+c^12/bc =a^11b 又a^11≥b^11≥c^11，1/c≥1/b≥1/a ∴a^11/c+b^11/a+c^c^10 ∴a^12/bc+b^12/ca+c^12/ab0+c^10. (4)权方和不等式应用 已知a、b、 求证:9a/(b+c)+16b/(c+a)+25c/(a+b)≥22 等式得 9a/(b+c)+16b/(c+a) =9a/(b+c)+9(b+c)/(b+c)+16b/(b+c)+16(b+c)/(b+c)+25c/(a+b)+25(a+b)/(a =(a+b+c)[3²/(b+c)+4²/(c+a)+5²/(a+b)]-50 ≥(a+b+c)[(3+4+0 =22. 故原不等式得证. 其他不一一举例了!
内容来自网友回答


基本不等式是怎样的不等式

基本不等式及其应用

高考倒计时 2025-02-202025年高考时间 6月7日,8日,9日
高中知识点专业其他问题:
高中知识点
相近专业 计算机 材料 机械 仪器仪表 能源动力 电气 电子信息 自动化 化工与制药 地质 矿业 纺织 轻工 交通运输 海洋工程 航空航天 兵器 核工程 农业工程 林业工程 环境科学与工程 生物医学工程 食品科学与工程 建筑 安全科学与工程 生物工程 公安技术 网络空间安全 土木 水利 测绘 植物生产 自然保护与环境生态 动物生产 动物医学 林学 水产 草学 基础医学 临床医学 口腔医学 公共卫生与预防医学 中医学 中西医结合 药学 中药学 法医学 医学技术 管理科学与工程 工商管理 农业经济管理 公共管理 图书情报与档案管理 物流管理与工程 工业工程 电子商务 旅游管理 艺术学理论 音乐与舞蹈学 戏剧与影视学 美术学 设计学 哲学 经济学 财政学 金融学 经济与贸易 法学 政治学 社会学 民族学 马克思主义理论 公安学 教育学 体育学 中国语言文学 外国语言文学 新闻传播学 历史学 数学 物理学 化学 天文学 地理科学 大气科学 海洋科学 地球物理学 地质学 生物科学 心理学 统计学 历年高考分数 高中知识点 高一 高考试题库 测试 力学