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近年，在各地的中考题中，常出现这样一类关于二次函数的题目：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的某些信息，要求判断和系数a、b、c有关的各种命题（通常是等式或不等式）是否成立。
对这类题目，特别是其中显得有些“怪异”的命题，初学者普遍感到比较困难，究其原因，主要是对二次函数的图像抛物线缺乏深入研究，不清楚抛物线与a、b、c与之间的各种关系，未能总结出解此类题目的规律性。
例15.(08.长沙)二次函数的图像如图所示，则下列关系式不正确的是（）
A.a＜0；B.年我脱帝广阶管宗眼abc＞0；C.a+b+c＞0；D.几犯识变补困学张除足b2-4ac＞0.
y速体设解：A:∵抛物线叫史打提总地吃问红送开口向下,∴a<
0故A成立.
B:∵抛物线与y轴的交点在正半轴,∴c>
0.
∵对称轴在y轴左侧(或顶点在y轴左侧),∴－<
0.
又∵a<
0,∴b<
0.∴abc>
0.故B成须硫首田非儿道立。
-101C:由点（1,0）在抛物线上对应点的上方知，当x=1时，y<
0,
即a+b+c<
0.故C不成立。
D:∵抛物线与x轴改超助有两个交点（或顶点在x轴上方）
∴b2-4ac>
0.故D成立。
综上，应决混单选（C）
由此题可以看出斗，解这类题目的关键，在于对题目中给出的图像抛物线的五个方面的观察和探讨：一.开口方向；二．抛物线与y轴的交点；三．顶点的位置；四．对称轴x=－的位置；五．抛物线与x轴的交点。
只要我们熟知了这五个方面与a、b、c的各种关系和规律，则绝大多数题目的解决就会变得容易起来。
对此，我们可作相关总结如下：
一．开口方向：判断a的符号。
若开口向上，则a﹥0；若开围粉几各居假额唱口向下，则a﹤0.
二．抛物线与y轴的交点：判断c的符号
若交点在y轴的正半轴，则c﹥0；若交点站省营歌够许更得在轴的负半轴，则c﹤0；若交点恰为原点，则c=0。
三．顶点的位置
1.顶点横坐标－的作用：相蒸业根据顶点与y轴的左右关系，判明横坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。
（利用对称轴亦有此效，见后四。
1）
2.顶点纵坐标(4ac－b2)／4a的作用：根据顶点与x轴的上下关系，判明纵坐标的符号，再结合a的符号，即可判明b2－4ac的符号。
（利用抛物线与x轴的交点个数，亦有此效）
四．对称轴x=－的位置
1．判断b的符号：根据对称轴阳质那低事验与y轴的左右关系，判明整个－的符号，再结合a的符号，即可判明b的符号。
2．若对称轴已知为x=k,则－=k,即得出a、b之间的一个等量关系。
3．若对称轴已知为从x=k>
m，则－>
m,结合a的符号，可得出a、b之间的一个不等关系（如大小关系）。
五．抛物线与x轴的交点：从ax2+bx+c的结构特点入手判断有关命题
注意二次函数式ax2+bx+c的结构有如下特点：
当x=±3时，ax2+bx+c=9a±3b+c①
当x=±2时，ax2+bx+c=4a±2b+c②
当x=±1时，ax2+bx+c=a±b+c③
当x=±m时，ax2+bx+c=am2±bm+c④
设抛物线与x轴的交点为A，B，根据x轴上的点（±3,0）,（±2,0）,（±1,0）,(±m,0)等与点A，B的位置关系，即可判断出和上述①②③④四个式子（或其变式）有关的若干命题是否成立。
例2.（2007•天津）已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b>
m(am+b)(m为≠1的实数)。
其中正确的结论有（）
A.2个；B.3个.C.个.D.5个.
y解：①：不成立。
理由略。
X=1②：由点（-1,0）在抛物线上对应点的上方知，当x=-1
时，y<
0,即a-b+c<
0,故b>
a+c.故②不成立。
③由对称性知点（2，0）在对应的抛物线上的点的下方，
所以，当x=2时，y>
0,即4a+2b+c>
0.故③成立。
-10x④由对称轴为x=1知，－=1，∴a=-b,代入前面的
a-b+c<
0即得2c＜3b。
故④成立。
⑤由顶点是最高点知，当x=1时的y值>
当x=m(≠1)时的y值，即a+b+c>
am2+bm+c,故a+b>
m（am+b）(m≠1).
故⑤成立。
综上，应选B.
对于某些较难判断的题目，仅有以上五点总结还不很够，为此，下面再补充一点。
六．以方程组或不等式组的思想为指导，运用相关技巧判断一些较难命题是否成立。
1．若对称轴为x=k,则－=k,再将其带入题中得到的相关式子，即可判断出a、c或b、c之间的一些关系。
2．若抛物线与x轴的交点为（k,0），则ak2+bk+c=0,再将其带入题中得到的相关式子，即可判断出a、b、c之间的一些关系。
3.若抛物线与x轴的交点为（k1，0）和（k2，0），则ak12+bk1+c=0，ak22+bk2+c=0，将两式配合变形即可得出a、b、c之间的一些关系。
例3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图x轴交于点（-3,0）,(x1,0),且2＜x1＜3,又与y轴的正半轴的交点在点（0，2）的上方，下列有四个结论：
①a＞b＞0；②6a+c＞0；③9a+c＜0；④9a+3b+2＞0.
其中正确的结论是_______（将你认为正确的结论都填上）
解：①不成立。
理由略。
Y②由交点（-3,0）得9a-3b+c=0(1)
由点（2,0）得4a+2b+c>
0(2)
从（1）、（2）中消去b得30a+5c>
0∴6a+c>
0
2故②成立。
X1③由点（3,0）得9a+3b+c<
0(3)
-3023x从（1）、（3）中消去b得18a+2c<
0∴9a+c<
0
故③成立。
④∵图像与轴正半轴的交点在（0,2）的上方
∴c>
2
∴由（3）可得9a+3b+2<
9a+3b+c<
0
故（4）不成立。
综上，正确的结论是②、③。
例4．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点（-2,0）、（x1,0）,1＜x1＜2,与y轴的正半轴的交点在点（0,2）的下方。
下列结论
①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a-b+1＞0；⑤b2-2ac＞5a2.
正确结论的个数是（）
A.2个；B.3个；C.4个；D.5个。
解：①依题意，根据抛物线的对称性可知，对称轴应在y轴和
Y直线y=—之间，所以—<
-<
0,又∵a<
0,∴b<
0且a<
b
2故①成立。
②由交点（-2,0）得4a-2b+c=0(1),∴c=2b-4
-201x12x∴2a+c=2a+(2b-4a)=2（b-a）>
0.故②成立。
③由（1）得4a+c=2b<
0,故③成立。
④由（1）得2a-b=-,∴2a-b+1=>
0.故④成立。
⑤由（1）得b=,∴b2-2ac=()2-2ac=
(16a2+8ac+c2)∕4-2ac=4a2+c2。
由②得c>
-2a,
∴c2>
4a2,所以b2-2ac>
4a2+a2>
5a2.故⑤成立。
注：例3中判断（2）、（3）的方法可用来判断例4中的（2）、（3），反之亦然。
总的来说，例3、例4的判断方法各有其特点，但两相比较，可能例4的方法学生更容易把握一些。
巩固练习
1.(08.巴中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列说法不正
y确的是（）
A.b2-4ac＞0；B.a＞0；C.c＞0；D.-﹤0.
答案：D
0x
2。
（2007，南充）.如图是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分，图像过点A(-3,0),
y对称轴为x=-1.给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a-b+c=0；④5a＜b.
其中正确的结论是（）
-301xA.②④；B.①④；C.②③；D.①③.
答案：B
3.（2009，包头）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点（-2,0），
y（x1,0）,且1＜x1＜2,与y轴的交点在点（0,2）的下
方，下列结论：
2①4a-2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④a-b+1＞0.
其中正确结论的个数是_____个。
-201x12x
答案：4. 内容来自网友回答
请写出一个二次函数y=ax2+bx+c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x=1对称；②当x=2时，y＞0；③当x=
请写出一个二次函数y=ax2+bx+c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x=1对称；②当x=2时，y＞0；③当x=-2时，y＜0．答：______．（答案不唯一）
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