求不等式大全，，，基本不等式，琴生不等式，闵可夫斯基不等式等等-格物学-2025大学专业介绍-高考倒计时-高考志愿填报

著名不等式荟萃在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩。
下面择要介绍一些著名的不等式。
一、平均不等式（均值不等式）设a1，a2，…，an是n个实数，A＝叫做这n个实数的算术平均数。
当这n个实数非负时，G＝叫做这n个非负数的几何平均数。
当这n个实数均为正数时，H＝叫做这n个正数的调和平均数。
设a1，a2，…，an为n个正数时，对如下的平均不等式：H≤G≤A 当且仅当a1＝a2＝…＝an时等号成立。
平均不等式A≥G是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。
设x1，x2，…，xn是n个正的变数，则 (1)当积x1x2…xn＝P是定值时，和x1＋x2＋…＋xn有最小值，且 (x1＋x2＋…＋xn)min＝n＝n (2)当和x1＋x2＋…＋xn＝S是定值时，积x1x2…xn有最大值，且 (x1x2…xn)max＝()n＝()n 两者都是当且仅当n个变数彼此相等时，即x1＝x2＝…＝xn时，才能取得最大值或最小值。
在A≥G中，当n＝2，3时，分别有 ≥，≥ 平均不等式A≥G经常用到的几个特例是： (a1＋a2＋…＋an)(＋当且仅当a1＝a2＝…＝ a1＋≥2，当且仅当a1＝1时等号成立。
等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数a1，a2，…，an；b1，b2 (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bn2) 其中等号当且仅当＝＝…＝时成立柯西不等式的几个特例(以下a1，a2，…，an；bn均为实数)是： (1)a12＋a22＋…＋a＋b22＋…＋bn2＝1，则｜a1b1＋a2b2＋… (2)a1a2＋a2a3＋a3a1≤a12＋a22＋a32 (3)(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2) 柯西不等式是又一个重要不推广。
三、闵可夫斯基不等式设a1，a2，…n是两组正数，k＞0，k≠1，则 (1)k＞1时，≤＋ (2)0＜k＜1时，≥＋当且仅当＝＝…＝时等号成立。
闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的，当k＝2，n＝2时得平面上的三角形不等式： ≤＋右图给出了对上式的一个直观理解。
若记＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，则上式为 |＋|≤||＋|| 四、贝努利不等式 (1)设xi＞－1，i＝1，2，…，n，n≥2且，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn 不等式(1)的一个重要特例是：(1＋x)n＞1＋nx，x＞－1，x≠0，n∈N，n≥2 (2)设x＞－1，则 (i)当0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx； (ii)当α＞1或α＜0时，有(1＋x)α≥1＋αx。
上两式当且仅当x＝0时等号成立。
五、已知ai＞bi(1≤i≤n)是2n个正实数，p＞0，q＞0，p＋q＝1，则 a1pb1q＋a2pb2q＋…＋anpbnq≤(a1＋a2＋…＋an)p(b1＋b2＋…＋bn)q 上式中若令p＝q＝，xi2＝ai，yi2＝bi，即为柯西不等式。
六、 (1)若a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，则 (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≥； (2)若a1≤a2≤…≤an；b1≥b2≥…≥bn，则 (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤；下面给出一个n＝2时的契比雪夫不等式的直观理解。
如图，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，显然阴影的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中MN向上翻折比较即知）。
于是有 (a1＋a2)(b1＋b2)≤2(a1b1＋a2b2)，也即 (a1b1＋a2b2)≥ 七、设有两组数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn满足a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1bk1＋a2bk2＋…＋anbkn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，式中的k1，k2，…，kn是1，2，…，n的任意一个排列，式中的等号当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时成立。
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤和。
这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少迎刃而解。
八、含有的不等式 a，b为复数，则||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| 左边的等号仅当a，b的幅角差为π时成立，右边的等号仅当a，b的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是 |a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an| 绝对值不等式在实数的下用得较多。
九、设f(x)是(a，b)内的凸函数，则对于(a，b)内任意的几个实数x1，x2，…，xn有 f()≤[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)] 等号当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取得。
琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。
利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式，比如“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等。
十、艾尔多斯—莫迪尔不等式设P为⊿ABC内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则 PA＋PB＋PC≥2(PD＋PE＋PF) 当且仅当⊿ABC为正三角形，且P为式取等号。
这是用于几何问题的证明和求最大(小)值时的一个重要不等式。
以上这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，如果它们已变成了我们、研究数学、应用数学的得力工具。
_{内容来自网友回答}

七年级下册数学不等式应用题的各种常见题型

基本不等式及其应用