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浙江省江山市清湖高级中学康井荣
(邮编:324100)
笔者近期就“
函数”一章进行高一期末复习,目的是了解学生对概来自念的掌握情况.在给学生出
的测验卷上有一道题是:命半已知集合A={1,2,3}
,B={-1,0,1},函数f:A→字画距草严衣院克阳B满足:f(
1)+f(2)+f(3)=0,
则这样的函数f(x)共有(
)个A.4个
B.6个
C.7儿弱展增个
D.8个本以为这样一道常规的问题不会有多少学
生做错,然而事实却让人非常惊讶:全班48人,有
21人做错.
通过与学生的交流,发现错误的原因主要有两个:一是认为对于一个没有给出具体解析式的函数,f(1),f(2),f(
3)不好算;
二是不会运用分类讨论,或者分类讨论不完整.当然,教学方面也有问题:一是教学进度较快,学生囫囵吞枣,没有充分理解概念,因而学得似懂非懂、云里雾里的;
二是教师没有帮助学生很好死证占地揭示函数的本质,导致出现学生说没有给出函数解析式,所以f(1),f(2),有热f(
3)算不来的闹剧.众所周知,函数概念是中学数学中最重要的核心概念之一,函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终,学会用函数的观点和方法解决数学问题,是高中数学主要的学习任务之一.然而,函数概教呀北端源然杀开念因其取元的任意性、成象的唯一性、以及对应法则“f”的高度抽象性,而成为最难把握的概念之一,无论是教师的教还是学生的学,都存在很大困难.因此,如何全面而深刻地理解函数概念、破解概念教学难点是学好函数概念的根本所在.
1巧借引喻,
剖析概念在函数的定义中,“对于任意给定的x,都有唯一确定的y与之对应”,同时强调“任意”和“给定”,这两个关键词以及对应关系对学生的理解是有障碍的.为了突破这一障碍,我们可以借用引喻:用两个“QQ群”分别代表某个幼儿园里所有孩子组成查创宽业只号尔官的“孩子群”和所有妈妈植洋单兵组成的“妈妈群”.由于每个孩子都对应一个唯一的妈妈,因此,函数就相当于“孩子群”里的孩子与“妈妈群”里的妈妈这种对应关系.下面就概念的本质和内涵,结合这个引喻逐一加以剖析,以加深对概念的理解.
1.1函数的本质是一种对应,
即A集合中的每个元素x在B集合中都有唯一的对应值y
这种对应可以是一对一、二对一或多对一的关系,如引喻中“孩啊为散跳磁子群”中的孩子可以是独本仅议抓散量展德周触生子女、双胞胎、或兄妹几个,他们在“妈妈群”中分别对应同一个妈妈.这种对应要求A城丰充外游跟销刘办集合元素必须具有任意性、B集合的对应元素必须具有唯一性.因此A、B两集合有先后顺序之分,是主导与从属的关系.若A→安县帝季源欢植去品换你B是函数,则B→A不一定是函数,如引喻中“妈妈群”对应“孩子群”就不是函数关系,因为一个妈妈可以对应两、三个孩子.
1.2函数的三哥五五北要素:
定义域A、对应关系f、
值域C定义域即为冷普认因依集合A,如“孩子群”中的所有孩子构成的集合;
对应关系f指A中元素在B中对流获种呼局应值的一种对应关系,如引喻中的对应法则即为孩子找自己的妈妈;
值域C是定义域A中的元素
x在B中对应值y构成的集合,
设清故C⊆B,如引喻中,每个孩子对应的妈妈组成的新“群”一定是“站从妈妈群”的一部分.如果一个函数定义域、对应关系确定的话,值域也就确定.
例如:
已知一个函数的解析式为f(x)=x2
,
它的值域为{1,4}
,问:这样的函数有多少个?试写出其中的两
个?若值域改为[1,4]呢?
(学生可以自由讨论)
1.3如何理解集合A、B都是非空数集?
即A或B是空集时,不能在A、B之间建立函数
关系,如y=
-x2
-1都无意义,
即B为空集,因此-x2-1不是函数关系;
另外,当A、B为
非空但不是数集时,仍不能构成函数关系.如引
1
22014年第3期
中学数学教学
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喻中“孩子群”里的孩子与“妈妈群”里的妈妈是一一对应,但它不是函数,因为如果视这两个群为两个集合的话,则这两个集合都不是数集,但如果给每个孩子和每个妈妈分别编号,则孩子的号码与妈妈的号码成函数关系,因为此时它定义在数集上了.
1.4符号f(
x)的理解f(
x)是一个整体符号,表示一个对应值,不能把它拆成乘积或某种运算,应该理解为x→y,
即自变量x在对应关系f的作用下,其对应值为
y,
记作y=f(x).例如,假设引喻中某孩子的编号是6,其妈妈的编号是13,即A中元素6在B中的对应值是13,那么就记作f(6)=13.
f是一种对应法则,
与所用的字母及表达式都无关,只要定义域相同,对应法则相同,就是同一个函数.例如:f(
x)=2-x,x∈{1,2,3}和g(
t)=(2-t),t∈{1,2,3}是同一函数.在函数的三要素中,起核心作用的是对应关
系f,它可以理解为一种“程序”或“处理器”.
一个变量x,通过一个对应关系f得到另一个值y,通
俗地说,就是自变量x作为原料,对应关系f作
为加工机器,那么原料x放到机器中加工出来的成品就是函数值y,其关系图如下.引喻中,“处理器”f就是孩子找妈妈这种对应关系.
2利用图象、
数表,理解概念发展学生数形结合的能力是获得对数学概念深刻理解的重要途径.因此,对函数概念的认识,辅之以图象、数表的形象表示,可以减少函数概念的学习困难.
2.1选用典型、贴切的图形、图表作例子,给学生提供直观的机会,使抽象的函数符号形象化,尤其是对定义域、值域、对应关系的直观理解.
例1下图中的曲线表示的是十年黄金价格走势图.
请问这是一个函数吗?为什么?如果是的话,其定义域、值域和对应法则分别是什么?
例2下表是浙江省2013年PM2.5浓度污
染排名(单位:微克/米3)
序号123456城市湖州金华嘉兴衢州绍兴杭州PM2.5浓度年均值73.569.066.966.566.466.1
序号7891011城市温州台州宁波丽水舟山PM2.5浓度年均值
56.5
53.0
50.4
47.9
32.1
问:PM2.5浓度年均值是序号的函数吗?是的话,指出其定义域、值域、对应法则.问:上述两个例子可以用解析式表示函
数吗?
例3小明的妈妈
早上听说今天要停水,就赶紧打开自来水龙
头,用水桶蓄水.右图是蓄水量y随时间t的图
象.请问这是个函数吗?
这个图象说明了什么问题?从函数的三要素来看,是哪个要素导致出现了这个问题?结论函数的定义域或对应关系改变了,得
到的函数也就不同了.
2.2利用图象是否是函数,对概念进行辨析,使学生达到对概念的深刻理解.受初中的影响,学生往往认为函数的图象是一条平滑连续的曲线.因此,举函数图象时,尽量举一些分段的、孤立的点、不是光滑曲线的图象.
例4判断下列图象,哪些是函数图象,哪些
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2中学数学教学
2014年第3期
不是,并说明理由.并指出函数图象有什么特征.
例5设集合M={x|0≤x≤2},N={y|
0≤y≤2}
,那么下列四个图形中,不能表示定义域M到值域N的函数关系的有
,其原因分别是
.
3学生亲历体验,
内化概念函数概念的高度抽象性使得学生理解和掌握难度较大,需要学生更多的经验积累作支撑.因此,教师除了要选用典型例子对概念作剖析外,还要让学生去亲历体验,自行举例,自行用函数定义进行分析、比较、讨论,经历从具体到抽象的概括过程,在亲身体验中获得内心感悟,这样学生才会感悟深刻.
通过前面教师对概念的讲解以及从数、形两方面对概念进行理解后,学生对函数的本质有了一定的认识,这时候有必要对学生对于函数本质的理解状况进行检查,而检查的有效手段是让学生举例子,再组织学生自己讨论,例如:
问题设计意图
参考例子
1.
你认为要判断是否为函数,需要从哪几个方面说明?请结合例子说明.看学生对概念的
理解是否抓住关键词:任意性、唯一性.
如:求一个数的平方根和算术根.
2.
你认为什么叫对应关系f?请举个例子说明.对应关系最难理解、举例目的是检查学生对这个关系是否真正理解.如:y=x2
,f
为:x→x2
,其实际意义为正方形的边长x对应于它的面
积y.
3.请举个解析式,但不是函数的例子,并对其进行改正,使之成为函数.
使学生对自变量、
因变量、定义域、
值域的理解更加深刻.
如:x=4y2、y=1x
(x∈R).4.
请举出对应关系不能用解析式表示函数的例子,并用f(x)来表示其对应关系.学生举例往往想
到有解析式的例子,对只能用图形、表格表示函数的例子往往想不
到,
举这样的例子更能使学生对对应关系和f(x)
的理解.
如:股票走势
图、物价指数图、水库蓄水量、2013年城市人均收入表.
5.
请举个对应值是常数的函数例子.
受初中的影响,学生往往认为这种对应不是函数,通过举例子使学生加深对对应关系的理解,如:出租车的计费、父子的年龄差随年龄的增长.
6.
请在坐标系上任意画一条曲线,并说明它是一个函数图象.使学生明确不是光滑的曲线、不是连续的曲线也能成为函数图象,并为后面学习函数的性质和图象做铺垫.
学生可以自由发挥.
7.
请举一例两个解析式相同,但定义域不同的函数,并分别作出其图象.
使学生明确:一个函数,只要定义域改变了,它就成了一个新函数,强调定义域的重要性.
如:y=x2
,x∈N.
y=x2
,x∈(0,+∞)
.函数概念包括两个本质属性(变量和对应关系),而上述例子正是围绕“两个本质属性”这一核心设计的.应该说,这种设计是递进式的,有助于学生对概念的逐步深入理解.对学生举的例子,正确的由其他学生作点评、不正确的由其他学生予以纠正,并举出恰当的例子.通过学生这种“讨论”式的学习,学生不仅对概念的理解更深刻,而且概念的本质也内化了.
结束语
对于函数这样高度抽象的概念,教师必须采取“多举并进”、“多管齐下”的教学策略:除了教师精心备课,找准例子对概念深入剖析外,还要注意引导学生从数与形两方面相结合对概念进行辨识,同时要发动学生动手、动口、动脑,亲身体验概念的概括过程.只有这样,才能破解教学难点,提高课堂教学效果. 内容来自网友回答
函数的单调性和奇偶性的概念
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