格物学 高中知识点

方程的解的集合该怎么表示？

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方程的解的集合该怎么表示？
会不会存在某一个特解不属于用上述方法求出的“全解”？答案是：不会。
先来回答为何线性微分方程的通解（大概就是你说的“全解”）等于任意特解加齐次解。
事实上，这个规律在线性代数系统中都成立，不仅仅是线性微分方程（比如线性方程组、线性递推方程组等）。
这是由线性空间本身性质所决定的。
线性空间是在考察了大量的数学对象(如向量、矩阵、多项式，函数等)中比较常见的一类后对其数学本质进行抽象而得到的代数概念，它也是最常见最简单的一种代数空间。
因为其性质非常良好，良好到什么程度呢？空间内的加法具有交换律、结合律，标量乘法具有结合律和分配律，加法存在逆元和单位元，乘法也存在单位元等，这些性质导致了一个重要的推论，那就是线性系统解满足叠加性。
用通俗的话来讲，就是说，方程如果是线性的，将其分成解成两个独立的线性方程，那么原来方程的解可以写成这两个新方程解的线性组合。
有了上述知识，现在再来回答为何特解加齐次解就是全解。
首先，齐次解对应的是线性空间的基的线性组合，因而能表示该空间内的任意一点（空间中的点相当于一个函数，该空间相当于无穷多个函数构成的集合），特解相当于某个特定位置点，这个点处代表的函数满足原方程，但我们还要找到其他的解（有无穷多个），由于线性叠加原理，加起来就是原方程的解。
不考虑严谨性，用形象的语言来叙述是这样的：齐次解相当给出了满足齐次线性方程（一般称之为特征方程）AX=0的超平面（平面内任意一点都满足齐次方程）。
而特解就是原方程解所在超平面中的一点，线性本质是一样的，因此超平面是“平行”的，所以只要将齐次方程解对应的超平面的原点进行平移，使其经过特解这一点，那么平移后的超平面就是非齐次线性方程的所有解了。
内容来自网友回答


《集合》说课稿

集合的概念与表示

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