格物学
高中知识点
高考一轮复习教案(集合)
一.课标要求:
1.集合的含义与表示
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义;
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
二.命题走向
有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练.考试形式多以一道选择题为主,分值5分.
高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解.具体题型估计为:(1)热点是集合的基本概念、运算和
三.要点精讲
1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合.
(1)集合中的对象称元元素,记作 ;若b不是集合A的
(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序
确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的),因此,同一集合中
无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括
描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内.
具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,集合中元素所具有的共同特征.
注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或宜采用列举法.
(4)常用数集及其记法:
非负整数集作N;
正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R.
2.集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作A B(或 );
集合相等:构成两个集合的元素完全一样.若A B且B A,则称A等于B,记作A=B;若A B且A≠B,则称A是B的真子集,记作A
B;
(2)简单性质:1)A A;2) A;3)若A B,B C,则A C;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
3.全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
(2)若S是一个集合,A S,则, = 称S中子集A的补集;
(3)简单性质:1) ( )=A;2) S= , =S.
4.交集与并集:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集.交集 .
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集. .
注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.
5.集合的简单性质:
(1) (2)
(3) (4) ;
(5) (A∩B)=( A)∪( B), (A∪B)=( A)∩( B).
四.典例解析
题型1:集合的概念
例1.设集合 ,若 ,
由于 中 只能取到所有的奇数,而 中18为偶数.则 .
例2.设集合P={m|-1<m≤0 ,Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立 ,则下列关系中成立的是P Q
Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立=,对m分类:
①m=0时,-4<0恒成立;
②m<0时,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得m<0.
综合①②知m≤0,
∴Q={m∈R|m≤0}.
点评:该题考察了集合间的关系,同时考察了分类讨论的思想.集合 中含有参数m,需要对参数进行分类讨论,不能忽略m=0的情况.
题型2:集合的性质
例3.(2000广东,1)已知集合A={1,2,3,4},那么A的真子集的个数是(
)
点评:该题考察集合子集个数公式.注意求真子集时千万不要忘记空集 是任何非空集合的真子集.同时,A不是A的真子集.
变式题:同时满足条件:① ②若 ,这样的集合M有多少个,举出这些集合来.
答案:这样的集合M有8个.
例4.已知全集 ,A={1, }如果 ,则这样的实数 是否存在?若存在,求出 ,若不存在,说明理由.
∵ ;
∴ ,即 =0,解得
当 时, ,为A中元素;
当 时,
当 时, ∴这样的实数x存在,是 或 .
另法:∵
∴ ,
∴ =0且 ∴ 或 .
点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质.分类讨论的过程中“当 时, ”不能满足集合中元素的互异性.此题的关键是理解符号 是两层含义: .
变式题:已知集合 , , ,求
由 可知,
(1) ,或(2)
解(1)得 ,
解(2)得 ,
又因为当 时, 与题意不符,所以, .
题型3:集合的运算
例6.(06安徽理,1)设集合 , ,则 等于(
)
, ,所以 .
题型4:图解法解集合问题
例7.(2003上海春,5)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且A B,则实数a 图
的取值范围是____
_.
∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又A B,利用数轴上覆盖关系:如图所示,因此有a≤-2.
例8.(1996全国理,1)已知全集I=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N},则I=A∪( B
)
方法一: A中元素是非2的倍数的自然数, B中元素是非4的倍数的自然数,显然,只有C选项正确.
图
方法二:因A={2,4,6,8…},B={4,8,12,16,…},所以 B={1,2,3,5,6,7,9…},所以I=A∪ B,故答案为C.
方法三:因B A,所以( )A ( )B,( )A∩( B)= A,故I=A∪( A)=A∪( B).
方法四:根据题意,我们画出Venn图来解,易知B A,如图:可以清楚看到I=A∪( B)是成立的.
点评:本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集考查,提高了对逻辑思维能力的要求.
题型5:集合的应用
例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
赞成A的人数为50× =30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x.依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50,解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8
点评:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来.本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系.
例10.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?
如图先画出Venn图,不难看出不符合条件
的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)
-(200÷10)-(200÷6)-(200÷15)
+(200÷30)=146
所以,符合条件的数共有200-146=54(个)
点评:分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法.
题型7:集合综合题
例11.(1999上海,17)设集合A={x||x-a|
内容来自网友回答
设集合A={1,2,3,4},B={2,3,5},则韦恩图中阴影部分表示的集合为A.{5}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,6}
试题难度:简单 试题类型:单选题 试题内容:
设集合A={1,2,3,4},B={2,3,5},则韦恩图中阴影部分表示的集合为
A.{5}
B.{2,3}
C.{2,3,5}
D.{1,6}
已知全集U=R,集合M={x∈Z|-1≤x-1≤2}和N={x|x=2k+1,k∈N*}的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有A.2个B.3个C.4个D.无穷多个
试题难度:困难 试题类型:单选题 试题内容:
已知全集U=R,集合M={x∈Z|-1≤x-1≤2}和N={x|x=2k+1,k∈N*}的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
A.2个
B.3个
C.4个
D.无穷多个
用集合表示图中阴影部分A.(A∩B)∩CB.(A∩B)∪CC.(A∩B)∪CUCD.(A∩B)∩CUC
试题难度:简单 试题类型:单选题 试题内容:
用集合表示图中阴影部分
A.(A∩B)∩C
B.(A∩B)∪C
C.(A∩B)∪CUC
D.(A∩B)∩CUC
已知集合,且M、N都是全集I的子集,则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为A.B.{z|-3≤z≤1}C.D.
试题难度:一般 试题类型:单选题 试题内容:
已知集合
,且M、N都是全集I的子集,则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为
A.
B.{z|-3≤z≤1}
C.
D.
设集合,B={x|x≤4,x∈Q}(Q为有理数集),则图中阴影部分表示的集合是A.{1,2,4}B.{2,4}C.{1,2}D.{1,2,3,4}
试题难度:简单 试题类型:单选题 试题内容:
设集合
,B={x|x≤4,x∈Q}(Q为有理数集),则图中阴影部分表示的集合是
A.{1,2,4}
B.{2,4}
C.{1,2}
D.{1,2,3,4}
已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则图中的阴影部分表示的集合是A.{5,7}B.{2,4}C.{2,4,8}D.{1,3,5,6,7}
试题难度:困难 试题类型:单选题 试题内容:
已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N={5,6,7},则图中的阴影部分表示的集合是
A.{5,7}
B.{2,4}
C.{2,4,8}
D.{1,3,5,6,7}
已知集合M={x|-3<x<0},N={x|-1≤x≤1},则图中阴影部分表示的集合为A.[-1,1)B.(-3,-1)C.(-∞,-3]∪[-1,+∞)D.(-3,1]
试题难度:简单 试题类型:单选题 试题内容:已知集合M={x|-3<x<0},N={x|-1≤x≤1},则图中阴影部分表示的集合为
A.[-1,1)
B.(-3,-1)
C.(-∞,-3]∪[-1,+∞)
D.(-3,1]
设U为全集,集合A,B,P都是U的子集,则图中阴影部分表示的集合是A.A∩(B∪P)B.A∩[P∩(CUB)]C.P∩[(CUA)∩(CUB)]D.(A∩B)∪(A∩P)
试题难度:困难 试题类型:单选题 试题内容:
设U为全集,集合A,B,P都是U的子集,则图中阴影部分表示的集合是
A.A∩(B∪P)
B.A∩[P∩(CUB)]
C.P∩[(CUA)∩(CUB)]
D.(A∩B)∪(A∩P)
已知全集U=R,集合A={x||x|≤1,x∈Z},B={x|x2-2x=0},则图中的阴影部分表示的集合为A.{-1}B.{2}C.{1,2}D.{0,2}
试题难度:困难 试题类型:单选题 试题内容:
已知全集U=R,集合A={x||x|≤1,x∈Z},B={x|x2-2x=0},则图中的阴影部分表示的集合为
A.{-1}
B.{2}
C.{1,2}
D.{0,2}
集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系正确的是A.S∈TB.F?TC.S∪T=TD.CUS=T
试题难度:简单 试题类型:单选题 试题内容:
集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系正确的是
A.S∈T
B.F T
C.S∪T=T
D.CUS=T
已知A、B是两个集合,它们的关系如图所示,则下列式子正确的是A.A∪B=BB.A∩B=AC.(?AB)∪B=AD.(?AB)∩A=B
试题难度:困难 试题类型:单选题 试题内容:
已知A、B是两个集合,它们的关系如图所示,则下列式子正确的是
A.A∪B=B
B.A∩B=A
C.( AB)∪B=A
D.( AB)∩A=B