高一数学-格物学-2025大学专业介绍-高考倒计时-高考志愿填报

【并集】
在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。

基本定义：
若 A 和 B 是集合，则 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素，而没有其他元素的集合。
A 和 B 的并集通常写作 "A ∪B"。

形式上：x 是 A ∪B 的元素，当且仅当 x 是 A 的元素，或 x 是 B 的元素。

举例：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。
数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。

更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。

形式上：x 是 A ∪B ∪C 的元素，当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C。

代数性质：
二元并集（结合运算，即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C。
事实上，A ∪B ∪C 也等于这两个集合，因此在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的，并集运集合的顺序任意。

空。
即 {} ∪A = A将空集当作零个集合的并集。

结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为。
例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足。
若将并集可以获得相应的。

无限并集：
最普遍的概念是：任意集合的并集。
若 M 是一个集合的集合，则 x 是 M 的并集的元素，当且仅当存在 M 的元素 A，x 是 A 的元素。
即：

x \in mathbf \iff \exists A{\in}\mathbf, x \in A.

无论集合 M 本身是什么，M 的并集是一个集合，这就理。

例如：A ∪ B ∪ C 是集合 {A,B,C} 的并集， M 的并集也是空集。
有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法：集合论科学家简单地写

\bf

，而大多数人会这样写。
后一种可以推广为

\bigcup_{i\in I} A_

，表示集合 {Ai : i is in I} 的Ai 是一个 i 属于 I 的集合。
在索引集合 I 是自然数集合的情况下，上述表示和求和类似：

\bigcup_{y} A_

。

同样， A3 ∪ ···". （这是一个可数的集合的并集的，在数学分析中非常普遍；参见σ-代数）。
最后，∪" 放在其他符号之前，而不是之间的时候，要写分配律，即

\bigcup_{i\in I} (A \cap Bp_{i\in I} B_

。
结合无得

\bigcup_{i\in I} (\bigcap_{j\bseteq \bigcap_{j\in J} ({i\in I} A_{i,j}).

【交集】数学上，两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。

A 和 B 的交集写作 "A ∩B"。
形式上： x 属于 A ∩B 当且仅当 x 属于 A且 x 属于 B。

例如：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。
数字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11} 和奇数集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11｝的交集。

若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。
例如，集合 A，B，C 和 D 的交集为 A ∩B ∩C∩D ＝A∩(B ∩(C ∩D))。
交集运算满足结合律，即 A ∩(B∩C)＝(A∩B) ∩C。

最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。
若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则 x 属于 M 的交集，当且仅当对任意 M 的元素 A，x 属于 A。

一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作CsA.
在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和。

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

1：若 A，B，C 是集合，则下列恒等式成立：
C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)
C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)
C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)
(B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)
(B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)
A − A = Ø
Ø − A = Ø
A − Ø = A
若给定全集 U，则 A 在 U 中的相对补集称为 A 的绝对补集（或简称补集），写作 AC，即：
AC = U − A
与补集有关的运算
求补律
A∪CsA=S
A∩CsA=Φ
集合的性质：
确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。

互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。
不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}。

无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。

集合有以下性质：若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B
集合的表示方法：常用的有列举法和。

1.列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在内，这种表示集合的方法叫做列举法。
{1，2，3，……}
2.描述法：常用于表示，把集合中元素的公共属性用，符号或等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。
{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 3.图式法：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。

常用数集的符号：
（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N
（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）
（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z
（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q
（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R
（6）复数集合计作C
集合的运算：
1.交换律
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
2.结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
3.分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
2德.摩根律
Cs(A∩B)=CsA∪CsB
Cs(A∪B)=CsA∩CsB
3“容斥原理”
在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。
例如A={a,b,c}，则card(A)=3
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
1985年德国，集合论创始人康托尔谈到集合，列举法和描述法是表示集合的常用方式。

吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
求补律
A∪CsA=S
A∩CsA=Φ 写了这么多行行好再给个10分吧!
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若A为全体正实数的集合，R为实数集，B={-2，-1，1，2}，则下列结论中正确...

若A为全体正实数的集合，R为实数集，B={-2，-1，1，2}，则下列结论中正确的是（） A．A∩B={-2，-1} B．（?RA）∪B=（-∞，0） C．A∪B={0，+∞} D．（?RA）∩B={-2，-1}