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2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性;
2.元素的互异性;
3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法: 非负N 正整数集N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA 列举法:把集举出来，然后用一个括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条集合的方法:①语言描述法:例:{不是的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集 2.无限集 含有无限个元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系-子集 注意: 有两种可能(1)A是B的一部分，;
(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0” 结论:对于两个集合A与B，如果集合A的合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。
AA ②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集 1、交集的:一般地，由所有属于A且属于集合,叫做A,B的交集.记A∩B= {x|x∈A，且x∈B}. 2、并集的定义:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。
记作:A∪B(读作"A并B")，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A,A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4、与补集 (1)补集:设S是一个集合，A是S的一个子集(即 )，由S中所有不属于A的元素组成的 集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作: CSA 即 CSA ={x xS且 xA} (2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
(3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U 四、的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x)，x∈A.其中，x叫做，x的A叫做函数的;
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域指能使这个式子有意义的实数的集合;
函数的定义域、要写成集合或区间的形式. 定义域补充:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列的主要是: (1)的不等于零;
(2)偶次方根的不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些通过结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。
) 构成函数的三:定义域、对应关系和值域 再注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的无关。
相同函数的判断方法:①相同;
②定义域一致 (两点必须同时具备) 值域补充:(1)、函数的值域取决于定义域和，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)应熟悉掌握、、指数、及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
2. 函数图象知识归纳 (1)定义:在中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }。
图象C一般的是一条光滑的(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或组成。
(2) A、描:根据和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象(请参考必修4三角函数)常用有三种，即平移变换、伸缩变换和 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;
2、利用的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。
发现解题中的。
3. 了解区间的概念 (1)区间的分类:、、;
(2)无穷区间;
(3)区间的表示. 4.什么叫做映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f:A B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的;
②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;
③对于映射f:A→B来说，则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;
(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;
(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点: ○1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个是否是函数图象的依据;
○2 解析法:必须注明函数的定义域;
○3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;
化简函数的解析式;
观察函数的特征;
○4 列表法:选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征. 注意:解析法:便于算出函数值。
列表法:便于查出函数值。
图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 :在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 补充二::如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 5.函数 (1) 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
当x1
○3 变形(通常是因式分解和配方);
○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的);
○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其如下: 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的法判定单调性吗? 6. (1) 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. (2) 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数. 注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;
函数可能没有,也可能既是奇函数又是偶函数。
○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y;
奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断的格式: ○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;
○2 确定f(-x)与f(x)的关系;
○3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数. 注意:关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是.若对称，(1)再根据定义判定;
(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
(3)利用，或借助函数的图象判定 . 7、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:、、消参法等，如果已知函数解析式的时，可用待定系数法;
已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围;
当已知表达式较简单时，也可用凑配法;
若已知表达式，则常用消参的方法求出f(x) 8.函数最大(小)值 ○1 利用二次函数的性质()求函数的最大(小)值 ○2 利用图象求函数的最大(小)值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b) 第二章 基本初等函数 一、 一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根(n th root)，其中 >1，且 ∈ *. 当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.此时， 的 次方根用符号 表示.式子 叫做根式(radical)，这里 叫做根指数(radical exponent)， 叫做被开方数(radicand). 当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数.此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号- 表示.正的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0).由 此可得:负数没有偶次方根;
0的任何次方根都是0，记作 。
注意:当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2. 正数的分数指数幂的意义，规定: 0的指数幂等于0，0的指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 (1) • (2) (3). 二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念: 一般地，函数 叫做指数函数(exponential function)，其中x是自变量，函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0
注意:利用函数的单调性，结合图象还可以看出: (1)在[a，b]上， 值域是 或 ;
(2)若 ，则 ;
取遍所有正数当且仅当 ;
(3)对于指数函数 ，总有 ;
(4)当 时，若 ，则 ;
二、对数函数 一)对数 1.对数的概念: 一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作: ( - 底数， - 真数， - 对数式) 说明:○1 注意底数的限制 ，且 ;
○2 ;
○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:○1 常用对数:以10为底的对数 ;
○2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 . 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数← → 幂底数 对数← →指数 真数← →幂 二)对数的运算性质 如果 ，且 ， ， ，那么: ○1 + ○2 - ;
○3 . 注意:换底公式 ( ，且 ;
，且 ;
). 利用换底公式推导下面的结论(1) ;
(2). 三)对数函数 1、对数函数的概念:函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是(0，+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如: ， 都不是对数函数，而只能称其为. ○2 对数函数对底数的限制: ，且 . 2、对数函数的性质: a>1 0
当 时，幂函数的图象上凸;
(3) 时，幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、的概念:对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。
即:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 的零点: ○1 (代数法)求方程 的实数根;
○2 (几何法)对于不能用求根的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 . 1)△＞0，方程 有两不等，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程 有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个或二阶零点. 3)△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点. 高中数学必修4知识点 2、角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非重合，终边落在第几，则称 为第几. 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在 轴上的角的集合为 终边在 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角 终边相同的角的集合为 4、已知 是第几象限角，确定 所在象限的方法:先把各象限均分 等份，再从 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 原来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度. 6、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是. 7、弧度制与角度制的换算公式: 8、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ，. 9、设 是一个任意的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是 ，则， 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正，第二象限为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 11、三角函数线: ， ， . 12、三角函数的基本关系: ;
. 13、三角函数的诱导公式: ， ， . ， ， . ， ， . ， ， .口诀:函数不变，符号看象限. 口诀:正弦与余弦互换，符号看象限. 14、函数 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度，得到函数 的图象;
再将函数 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象;
再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数 的图象. 函数 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象;
再将函数 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度，得到函数 的图象;
再将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数 的图象. 函数 的性质:①振幅: ;
②周期: ③频率: ④相位: ;
⑤初相: . 函数 ，当 时，取得最小值为 ;
当 时，取得最大值为 ，则 15、、余弦函数和的图象与性质: 图象 定义域 值域 最值 当 时， ;
当 时， . 当 时， ;
当 时， . 既无最大值也无 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数;
在 上是减函数. 在 上是增函数;
在 上是减函数. 在 上是增函数. 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 16、:既有大小，又有方向的量. 数量:只有大小，的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 的向量. 单位向量:长度等于 个单位的向量. 平行向量():方向相同或相反的.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算:⑴的特点:首尾相连. ⑵的特点:共起点. ⑶三角形不等式: . ⑷运算性质:①交换律: ;
②结合律: ;
③ . ⑸坐标运算:设 ， ，则 . 18、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点，连终点，方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 ， ，则 . 设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 . 19、向量数乘运算: ⑴实数 与向量 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 . ① ;
②当 时， 的方向与 的方向相同;
当 时， 的方向与 的方向相反;
当 时， . ⑵运算律:① ;
② ;
③ . ⑶坐标运算:设 ，则 . 20、向量共线定理:向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 . 设 ， ，其中 ，则当且仅当 时，向量 、 共线. 21、:如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 .(不共线的向量 、 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分公式:设点 是线段 上的一点， 、 的坐标分别是 ， ，当 时，点 的坐标是. 23、平面向量的数量积: ⑴ .零向量与任一向量的数量积为 . ⑵性质:设 和 都是非零向量，则① . ②当 与 同向时， ;
当 与 反向时， ;
或 . ③ . ⑶运算律:① ;
② ;
③ . ⑷坐标运算:设两个非零向量 ， ，则 . 若 ，则 ，或 . 设 ， ，则 . 设 、 都是非零向量， ， ， 是 与 的夹角，则. 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ ;
⑵ ;
⑶ ;
⑷ ;
⑸ ( );
⑹ ( ). 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ . ⑵ ( ， ). ⑶. 26、 ，其中. 内容来自网友回答
集合的含义
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