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表示方法：用符号ø表示 空集的性质： 空集是一切集合的子集。
对任意集合A，空集是A的子集； ∀A:{}⊆A 对任意集合A,空集和A的并集为A： ∀A:A∪{}=A 对任意集合A,空集和A的交集为空集： 某种事物不存在，就是空集。
∀A:A∩{}={} 对任的笛卡尔积为空集： ∀A:A×{}={} 空集的唯一子集是空集本身： ∀A:A⊆{}⇒A={} 空集的元素个数（即它的势）为零；特别的，空集是有限的： |{}|=0 集合论中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可元素的，即空集是唯一的。
考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。
空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。
空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。
另外，空集是紧限集合是紧致的。
名词解释 第一讲集合的概念与运算 【考点透视】 1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念. 2．了解空集和全集的意义. 3．了义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 4．解答正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题. 5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论. 【例题解析】 题型1．正确理解和运用集合概念 理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键. 例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（） A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1} 思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集． 解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}． ∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D． 点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组 从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的． 例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（） A．PB．QC．D．不知道 思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y=x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了． 解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B． 例3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（） A．P∩Q=B．PQC．P=QD．PQ 思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物． 解：正确解法应为：P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A． 例4若，则=（） A．{3}B．{1}C．D．{－1} 思路启迪： 解：应选D． 点评：解此类题应先确定已知集合． 题型2．集合元素的互异性 集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识． 例5.若A={2，4,3－22－＋7},B={1,＋1,2－2＋2,－(2－3－8),3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________． 解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1．A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查． 当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1． 当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1． 当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设． 故=2为所求． 例6.已知集合A={,＋b,＋2b}，B={,c,c2}．若A=B，则c的值是______． 思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 解：分两种情况进行讨论． （1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0， =0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0． ∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解． （2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0， ∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正． 例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值为______． 思路启迪：由A∪B=A而推出B有四种可能，进而求出的值． 解：∵A∪B=A， ∵A={1，2}，∴B=或B={1}或B={2}或B={1，2}． 若B=，则令△<0得∈； 若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根； 若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈； 若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3． 综上的值为2或3． 点评：本题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况． 题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法 集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去． 例8.设集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________． 解：任设∈A，则=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)， ∴n∈Z,∴n＋1∈Z.∴∈B,故．① 又任设b∈B，则b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z), ∵k∈Z,∴k－1∈Z.∴b∈A，故② 由①、②知A=B． 点评：这里说明∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理． 例9若A、B、C为三个集合，，则一定有（） A.B.C.D. [考查目的]本题主要考查集合间关系的运算. 解：由知，，故选A. 例10．设集合,则满足的集合B的个数是（） A.1B.3C.4D.8 [考查目的]本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想. 解：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C. 例11．记关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （I）若，求； （II）若，求正数的取值范围． 思路启迪：先解不等式求得集合和． 解：（I）由，得． （II）． 由，得，又，所以， 即的取值范围是． 题型4.要注意空集的特殊性和特殊作用 空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误． 例12.已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x－2=0}且A∪B=A，则实数组成的集合C是________． 解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，=2，当x=2时，=1． 这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 例13．已知集合，．若，则实数的取值范围是． 思路启迪：先确定已知集合A和B． 解： 故实数的取值范围是． 例14.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________． 思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围． 解：由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， 或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4
说下指数函数常用的化简规律以及特殊情况的化简方法，以及公式，谢谢了啊
子集与交集、并集运算的转换
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