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先证明两个元素的公式：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
显然当A∩B=空集时,有card(A∪B)=card(A)+card(B),即上述公式成立（因为card(空集)=0）；
当A∩B≠空集时,而A∪B=(A\(A∩B))∪(B\(A∩B))∪（A∩B）,这是三个不相交的并,故card(A∪B)=card((A\(A∩B))∪(B\(A∩B))∪（A∩B）)=card(A\(A∩B))+card(B\(A∩B))+card(A∩B)；
又因为A=(A\(A∩B))∪(A∩B),这又是一个无交的并(即(A\(A∩B))∩(A∩B)=空集),故card(A)=card(A\(A∩B))+card(A∩B),同理card(B)=card(B\(A∩B))+card(A∩B)；
故card(A∪B)=card(A\(A∩B))+card(B\(A∩B))+card(A∩B)=(card(A)-card(A∩B))+(card(B)-card(A∩B))+card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),获证
再用上面的结论证明card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
card(A∪B∪C)=card(A∪(B∪C))=card(A)+card((B∪C))-card(A∩(B∪C))=card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-card((A∩B)∪(A∩C))=card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-(card(A∩B)+card(A∩C)-card((A∩B)∩(A∩C)))=card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-(card(A∩B)+card(A∩C)-card(A∩B∩C))=
card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-card(A∩B)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)获证.
注：论证过程中用到了一些集合的运算公式,现整理如下供你参考：
集合交换律
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
集合结合律
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
集合分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
集合吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
集合求补律
A∪CuA=全集
A∩CuA=空集（其中CuA表示在全集X下集合A的补集即CuA=X-A）
德摩根律
A\(B∪C)=（A\B)∩(A\C)
A\(B∩C)=（A\B)∪(A\C)
Cu(B∪C)=Cu(B)∩Cu(C)
Cu(B∩C)=Cu(B)∪Cu(C)
Cu(空集)=全集
Cu(全集)=空集
若你能把上面的公式记熟,则看这个证明没有任何问题,其实在证明中我也只是部分地用到了某些集合运算公式,就看你自己去发现了.
其实这还可以用图形来直观形象地说明.见下插图你就会明白为什么有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).推而广之,你还会明白为什么有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).但是数学是一门十分严格的科学,光有图形是不能让数学家们承认的,因此严格的证明思想是今后进行数学研究的关键.
引用一位法国当代大数学家***.weil(安德鲁.韦依)的话：“严格性之于数学家就如道德之于人.”就让它作为激励后辈们不断攀登数学高峰的指路明灯吧!
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