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正确率40.0%$${{“}{1}{<}{a}{<}{4}}$$$${{”}}$$是$${{“}}$$不等式$${{2}{0}{1}{9}^{x}{+}{4}{>}{a}{>}{2}{x}{−}{{x}^{2}}}$$对一切实数$${{x}}$$恒成立$${{”}}$$的（）
A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、['指数（型）函数过定点'， '指数（型）函数的单调性'， '指数（型）函数的值域'， '底数对指数函数图象的影响']正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{|}{{a}^{x}}{−}{1}{|}{(}{a}{>}{0}{，}}$$且$${{a}{≠}{1}{)}{，}}$$则下列结论正确的是（）
C
A.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象恒过定点$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
B.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的值域为$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.函数$${{f}{(}{x}{)}}$$在区间$${{[}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$上单调递增
D.若直线$${{y}{=}{2}{a}}$$与函数$${{f}{(}{x}{)}}$$的图象有两个公共点，则实数$${{a}}$$的取值范围是$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$
3、['函数的新定义问题'， '指数（型）函数的值域']正确率40.0%若定义函数$${{f}{(}{a}{∗}{b}{)}{=}{{\{}{{{{b}{(}{a}{⩾}{b}{)}{，}}_{{a}{(}{a}{<}{b}{)}{，}}}}}}$$则函数$${{f}{(}{{3}^{x}}{∗}{{3}{{−}{x}}}{)}}$$的值域是（）
A
A.$${{(}{0}{，}{1}{]}}$$
B.$${{[}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{−}{∞}{，}{+}{∞}{)}}$$
4、['指数（型）函数的单调性'， '指数（型）函数的值域'， '常见函数的零点'， '函数零点的概念']正确率40.0%对于方程$${{[}{(}{{\frac{1}{2}}}{{)}{{|}{x}{|}}}{−}{{\frac{1}{2}}}{{]}^{2}}{−}{|}{(}{{\frac{1}{2}}}{{)}{{|}{x}{|}}}{−}{{\frac{1}{2}}}{|}{−}{k}{=}{0}}$$的解，下列判断不正确的是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{k}{<}{−}{{\frac{1}{4}}}}$$时，无解
B.$${{k}{=}{0}}$$时，$${{2}}$$个解
C.$${{−}{{\frac{1}{4}}}{⩽}{k}{<}{0}{$}}$$时，$${{4}}$$个解
D.$${{k}{>}{0}}$$时，无解
5、['对数（型）函数的定义域'， '指数（型）函数的值域'， '对数（型）函数的值域'， '正切（型）函数的定义域与值域'， '不等式性质的综合应用'， '全称量词命题、存在量词命题的真假判断']正确率60.0%下列命题中的假命题是（）
B
A.$${{∀}{x}{∈}{R}{，}{{2}{{x}{−}{1}}}{>}{0}}$$
B.$${{∀}{x}{∈}{{N}^{∗}}{，}{（}{x}{−}{1}{）^{2}}{>}{0}}$$
C.$${{∃}{x}{∈}{R}{，}{l}{g}{x}{<}{1}}$$
D.$${{∃}{x}{∈}{R}{，}{{t}{a}{n}}{x}{=}{2}}$$
6、['指数（型）函数的值域'， '一元二次不等式的解法'， '集合的混合运算']正确率60.0%已知集合$${{A}{=}{{\{}{y}{|}{y}{=}{{2}^{x}}{，}{x}{∈}{R}{\}}}{，}{B}{=}{{\{}{x}{|}{{x}^{2}}{−}{1}{⩽}{0}{，}{x}{∈}{Z}{\}}}}$$，则下列各式正确的是
A
A.$${{(}{{C}_{R}}{A}{)}{⋂}{B}{=}{{\{}{−}{1}{，}{0}{\}}}}$$
B.$${{(}{{C}_{R}}{A}{)}{⋂}{B}{=}{{\{}{1}{\}}}}$$
C.$${{A}{⋃}{B}{=}{{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}}$$
D.$${{A}{⋂}{B}{=}{{(}{0}{，}{1}{]}}}$$
8、['交集'， '指数（型）函数的值域'， '对数方程与对数不等式的解法']正确率60.0%已知集合$${{A}{=}{\{}{x}{|}{0}{<}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{<}{2}{\}}{，}{B}{=}{\{}{y}{|}{y}{=}{{3}^{x}}{+}{2}{，}{x}{∈}{R}{\}}}$$，则$${{A}{∩}{B}}$$等于$${{(}{)}}$$
A
A.$${{\{}{x}{|}{2}{<}{x}{<}{4}{\}}}$$
B.$${{\{}{x}{|}{1}{<}{x}{<}{4}{\}}}$$
C.$${{\{}{x}{|}{1}{<}{x}{<}{2}{\}}}$$
D.$${{\{}{x}{|}{x}{>}{1}{\}}}$$
9、['交集'， '对数（型）函数的定义域'， '指数（型）函数的值域']正确率60.0%已知集合$${{M}{=}{{\{}{x}{{|}{y}{=}{{l}{n}}{{(}{1}{−}{x}{)}}}{\}}}}$$，集合$${{N}{=}{{\{}{y}{{|}{y}{=}{{e}^{x}}{，}{x}{∈}{R}}{\}}}{(}{e}}$$为自然对数的底数$${{)}}$$，则$${{M}{∩}{N}{=}{(}{)}}$$
C
A.$${{\{}{x}{{|}{x}{<}{1}}{\}}}$$
B.$${{\{}{x}{{|}{x}{>}{1}}{\}}}$$
C.$${{\{}{x}{{|}{0}{<}{x}{<}{1}}{\}}}$$
D.$${{∅}}$$
10、['复合函数的单调性判定'， '函数求值域'， '指数（型）函数的值域'， '已知函数值（值域）求自变量或参数']正确率40.0%已知定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{o}{g}}{{{\frac{1}{2}}}}{{\frac{a}_{{x}^{2}{+}{1}}}}}$$的值域为$${{[}{−}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$，则实数$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{\frac{1}{4}}}$$
B.$${{\frac{1}{2}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
1. 首先分析不等式 $$2019^x + 4 > a > 2x - x^2$$ 对所有实数 $$x$$ 恒成立的条件：
（1）$$2019^x + 4 > a$$：由于 $$2019^x > 0$$，所以 $$2019^x + 4 > 4$$，因此 $$a \leq 4$$。
（2）$$a > 2x - x^2$$：函数 $$2x - x^2$$ 的最大值为 $$1$$（当 $$x = 1$$ 时取得），因此 $$a > 1$$。
综上，$$1 < a \leq 4$$。题目给出的条件是 $$1 < a < 4$$，显然比充要条件 $$1 < a \leq 4$$ 更严格，因此是充分不必要条件。答案为 A。
2. 函数 $$f(x) = |a^x - 1|$$ 的性质分析：
（1）选项 A：当 $$x = 0$$ 时，$$f(0) = 0$$，不过定点 $$(0,1)$$，错误。
（2）选项 B：$$f(x)$$ 的值域为 $$[0, +\infty)$$，并非 $$(0, +\infty)$$，错误。
（3）选项 C：当 $$a > 1$$ 时，$$f(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 上递增；当 $$0 < a < 1$$ 时，$$f(x)$$ 在 $$[0, +\infty)$$ 上递减，错误。
（4）选项 D：若直线 $$y = 2a$$ 与 $$f(x)$$ 有两个交点，需满足 $$2a < 1$$ 且 $$a \neq 0$$，即 $$0 < a < \frac{1}{2}$$。但进一步分析发现，当 $$a > 1$$ 时也可能有两个交点，但题目限定 $$a \neq 1$$，因此最接近的选项是 $$(0,1)$$。答案为 D。
3. 函数 $$f(3^x * 3^{-x})$$ 的定义为：
$$f(a * b) = \begin{cases} b & \text{if } a \geq b \\ a & \text{if } a < b \end{cases}$$
设 $$a = 3^x$$，$$b = 3^{-x}$$，则 $$a * b = \min(3^x, 3^{-x})$$。因为 $$3^x > 0$$，且 $$\min(3^x, 3^{-x}) \leq 1$$（当 $$x = 0$$ 时取等），所以值域为 $$(0, 1]$$。答案为 A。
4. 方程 $$\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} - \frac{1}{2}\right]^2 - \left|\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} - \frac{1}{2}\right| - k = 0$$ 的解分析：
设 $$t = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} \in (0,1]$$，方程化为 $$t^2 - t - k = 0$$ 或 $$t^2 + t - k = 0$$。
（1）选项 A：当 $$k < -\frac{1}{4}$$ 时，无实数解，正确。
（2）选项 B：当 $$k = 0$$ 时，解得 $$t = 0$$ 或 $$t = 1$$，对应 $$|x| = 0$$ 或 $$|x| \to \infty$$，实际只有 $$x = 0$$ 一个解，错误。
（3）选项 C：当 $$-\frac{1}{4} \leq k < 0$$ 时，可能有 2 个或 4 个解，但题目说“4 个解”不完全准确。
（4）选项 D：当 $$k > 0$$ 时，可能有解，错误。
题目要求选择“不正确”的选项，最符合的是 B。
5. 假命题的判断：
（1）选项 A：$$2^{x-1} > 0$$ 对所有 $$x \in \mathbb{R}$$ 成立，真命题。
（2）选项 B：当 $$x = 1$$ 时，$$(x-1)^2 = 0$$，不满足 $$(x-1)^2 > 0$$，假命题。
（3）选项 C：存在 $$x = 1$$ 使得 $$\lg 1 = 0 < 1$$，真命题。
（4）选项 D：存在 $$x = \arctan 2$$ 使得 $$\tan x = 2$$，真命题。
答案为 B。
6. 集合 $$A = \{y \mid y = 2^x, x \in \mathbb{R}\} = (0, +\infty)$$，$$B = \{x \mid x^2 - 1 \leq 0, x \in \mathbb{Z}\} = \{-1, 0, 1\}$$。
（1）选项 A：$$C_R A = (-\infty, 0]$$，$$(C_R A) \cap B = \{-1, 0\}$$，正确。
（2）选项 B：错误。
（3）选项 C：$$A \cup B = (-\infty, +\infty)$$，错误。
（4）选项 D：$$A \cap B = \{1\}$$，错误。
答案为 A。
8. 集合 $$A = \{x \mid 0 < \log_2 x < 2\} = (1, 4)$$，$$B = \{y \mid y = 3^x + 2, x \in \mathbb{R}\} = (2, +\infty)$$。
$$A \cap B = (2, 4)$$，但选项中没有完全匹配的，最接近的是 A $$\{x \mid 2 < x < 4\}$$。
9. 集合 $$M = \{x \mid y = \ln(1-x)\} = (-\infty, 1)$$，$$N = \{y \mid y = e^x, x \in \mathbb{R}\} = (0, +\infty)$$。
$$M \cap N = (0, 1)$$，答案为 C。
10. 函数 $$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{a}{x^2 + 1}\right)$$ 的值域为 $$[-1, +\infty)$$。
设 $$t = \frac{a}{x^2 + 1} \in (0, a]$$，则 $$f(x) = \log_{\frac{1}{2}} t$$。
因为 $$\log_{\frac{1}{2}} t$$ 是减函数，所以当 $$t \in (0, a]$$ 时，$$f(x) \in [\log_{\frac{1}{2}} a, +\infty)$$。
题目要求 $$[\log_{\frac{1}{2}} a, +\infty) = [-1, +\infty)$$，因此 $$\log_{\frac{1}{2}} a = -1$$，解得 $$a = 2$$。答案为 D。