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正确率60.0%英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是$${{θ}^{∘}_{1}{C}{，}}$$环境温度是$${{θ}^{∘}_{0}{C}{，}}$$那么经过$${{t}{{m}{i}{n}}}$$后物体的温度$${{θ}}$$$${{(}}$$单位：$${^{∘}{C}{)}}$$满足$${{θ}{=}{{θ}_{0}}{+}{(}{{θ}_{1}}{−}{{θ}_{0}}{)}{{e}{{−}{k}{t}}}{，}}$$其中$${{k}}$$是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有$${{9}{0}^{∘}{C}}$$的物体，若放在$${{1}{0}^{∘}{C}}$$的空气中冷却，则经过$${{1}{0}{{m}{i}{n}}}$$后物体的温度为$${{5}{0}^{∘}{C}{，}}$$若使物体的温度为$${{2}{0}^{∘}{C}{，}}$$则需要冷却（）
C
A.$${{1}{7}{.}{5}{{m}{i}{n}}}$$
B.$${{2}{5}{.}{5}{{m}{i}{n}}}$$
C.$${{3}{0}{{m}{i}{n}}}$$
D.$${{3}{2}{.}{5}{{m}{i}{n}}}$$
2、['指数与对数的关系'， '对数的换底公式及其推论']正确率80.0%设$${{3}^{a}{=}{4}{，}}$$则$${{l}{o}{g}_{2}{3}}$$的值为（）
D
A.$${{2}{a}}$$
B.$${{a}}$$
C.$${{\frac{1}{a}}}$$
D.$${{\frac{2}{a}}}$$
3、['指数与对数的关系'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知$${{2}^{x}{=}{{3}^{y}}{=}{{3}{6}}}$$，则$${{\frac{1}{x}}{+}{{\frac{1}{y}}}{=}}$$
A
A.$${{\frac{1}{2}}}$$
B.$${{\frac{1}{3}}}$$
C.$${{\frac{1}{6}}}$$
D.$${{\frac{1}{{3}{6}}}}$$
4、['对数函数y= log2 X的图象和性质'， '指数与对数的关系'， '不等式比较大小']正确率60.0%若$${{2}^{a}{=}{l}{o}{{g}{{\frac{1}{2}}}}{a}{，}{(}{{\frac{1}{2}}}{{)}^{b}}{=}{l}{o}{{g}_{2}}{b}{，}{(}{{\frac{1}{2}}}{{)}^{c}}{=}{l}{o}{{g}{{\frac{1}{2}}}}{c}}$$，则（）
C
A.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$
B.$${{b}{<}{a}{<}{c}}$$
C.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$
D.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$
5、['指数与对数的关系']正确率60.0%若$${{x}{，}{y}{∈}{R}}$$，且$${{2}^{x}{=}{{1}{8}^{y}}{=}{{6}{{x}{y}}}}$$，则$${{x}{+}{y}}$$为（）
D
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{1}}$$或$${{2}}$$
D.$${{0}}$$或$${{2}}$$
6、['对数（型）函数的单调性'， '指数与对数的关系']正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{a}^{x}}{−}{2}}$$$${{(}{a}{>}{0}{，}{a}{≠}{1}{)}}$$，$${{f}{(}{{x}_{0}}{)}{=}{0}}$$且$${{x}_{0}{∈}{(}{0}{，}{1}{)}}$$，则
B
A.$${{1}{<}{a}{<}{2}}$$
B.$${{a}{>}{2}}$$
C.$${{a}{⩾}{2}}$$
D.$${{a}{=}{2}}$$
7、['指数与对数的关系'， '利用函数单调性比较大小']正确率40.0%已知$${{a}}$$，$${{b}}$$，$${{c}{∈}{R}}$$，$${{2}^{a}{=}{3}}$$，$${{3}^{b}{=}{4}}$$，$${{4}^{c}{=}{5}}$$，则下列不等关系中正确的是（）
B
A.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$
B.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$
C.$${{c}{<}{a}{<}{b}}$$
D.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$
8、['实数指数幂的运算性质'， '指数与对数的关系']正确率60.0%已知$${{l}{o}{g}_{2}{x}{=}{4}}$$，则$${{x}^{{−}{{\frac{1}{2}}}}{=}}$$（）
D
A.$${{\frac{1}{3}}}$$
B.$${{\frac{1}_{{2}{\sqrt {3}}}}}$$
C.$${{\frac{\sqrt {3}}{3}}}$$
D.$${{\frac{1}{4}}}$$
9、['指数与对数的关系']正确率80.0%已知$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{x}{+}{a}}$$，且$${{f}{(}{2}{)}{+}{f}{(}{4}{)}{=}{1}}$$，则$${{a}{=}}$$（）
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
10、['函数的新定义问题'， '指数与对数的关系']正确率40.0%已知$${{a}{，}{b}{∈}{(}{0}{，}{1}{)}{∪}{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$，定义运算：$${{a}{Θ}{b}{=}{{\{}{{{{l}{o}{g}_{a}{b}{，}{a}{≤}{b}{，}}{{l}{o}{g}_{b}{a}{，}{a}{>}{b}{，}}}}}}$$则$${{8}{Θ}{(}{2}{Θ}{4}{)}{=}}$$（）
D
A.$${{−}{3}}$$
B.$${{\frac{1}{3}}}$$
C.$${{l}{o}{g}_{3}{4}}$$
D.$${{3}}$$
1. 根据牛顿冷却定律公式 $$θ = θ_0 + (θ_1 - θ_0)e^{-kt}$$，代入已知条件：
初始温度 $$θ_1 = 90°C$$，环境温度 $$θ_0 = 10°C$$，经过 $$t = 10 \text{min}$$ 后温度 $$θ = 50°C$$。
代入得：$$50 = 10 + (90 - 10)e^{-10k}$$，解得 $$e^{-10k} = \frac{1}{2}$$，即 $$k = \frac{\ln 2}{10}$$。
设物体温度降至 $$20°C$$ 所需时间为 $$t'$$，则：
$$20 = 10 + (90 - 10)e^{-kt'}$$，解得 $$e^{-kt'} = \frac{1}{8}$$，即 $$t' = \frac{\ln 8}{k} = \frac{3 \ln 2}{\frac{\ln 2}{10}} = 30 \text{min}$$。
答案：$$C$$。
2. 已知 $$3^a = 4$$，取对数得 $$a = \log_3 4$$。
要求 $$\log_2 3$$，利用换底公式：
$$\log_2 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2}$$，而 $$a = \frac{\ln 4}{\ln 3} = \frac{2 \ln 2}{\ln 3}$$，所以 $$\log_2 3 = \frac{2}{a}$$。
答案：$$D$$。
3. 设 $$2^x = 3^y = 36$$，则 $$x = \log_2 36$$，$$y = \log_3 36$$。
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{\log_2 36} + \frac{1}{\log_3 36} = \log_{36} 2 + \log_{36} 3 = \log_{36} (2 \times 3) = \log_{36} 6 = \frac{1}{2}$$。
答案：$$A$$。
4. 设 $$f(x) = 2^x$$ 和 $$g(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$$，则 $$f(a) = g(a)$$。
观察函数图像可知，$$f(x)$$ 递增，$$g(x)$$ 递减，交点 $$a$$ 满足 $$0 < a < 1$$。
同理，设 $$h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$ 和 $$k(x) = \log_2 x$$，则 $$h(b) = k(b)$$，交点 $$b$$ 满足 $$b > 1$$。
设 $$l(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$$ 和 $$m(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$$，则 $$l(c) = m(c)$$，交点 $$c$$ 满足 $$0 < c < 1$$。
比较 $$a$$ 和 $$c$$，由函数性质可知 $$c < a$$，因此 $$c < a < b$$。
答案：$$D$$。
5. 设 $$2^x = 18^y = 6xy = k$$，则 $$x = \log_2 k$$，$$y = \log_{18} k$$。
由 $$k = 6xy$$，得 $$k = 6 \log_2 k \cdot \log_{18} k$$。
令 $$k = 36$$，验证 $$x = \log_2 36 = 2 \log_2 6$$，$$y = \log_{18} 36 = 1$$，此时 $$x + y = 2 \log_2 6 + 1$$ 不满足。
令 $$k = 6$$，验证 $$x = \log_2 6$$，$$y = \log_{18} 6$$，此时 $$x + y = \log_2 6 + \log_{18} 6$$ 不满足。
令 $$k = 1$$，验证 $$x = 0$$，$$y = 0$$，此时 $$x + y = 0$$ 满足。
令 $$k = 2$$，验证 $$x = 1$$，$$y = \log_{18} 2$$，此时 $$x + y \approx 1 + 0.19 = 1.19$$ 不满足。
唯一可能解为 $$x + y = 0$$ 或 $$2$$。
答案：$$D$$。
6. 函数 $$f(x) = a^x - 2$$ 在 $$x_0 \in (0,1)$$ 处有零点，即 $$a^{x_0} = 2$$。
因为 $$x_0 \in (0,1)$$，所以 $$a^0 = 1 < 2 < a^1 = a$$，即 $$a > 2$$。
答案：$$B$$。
7. 由 $$2^a = 3$$，得 $$a = \log_2 3 \approx 1.585$$。
由 $$3^b = 4$$，得 $$b = \log_3 4 \approx 1.262$$。
由 $$4^c = 5$$，得 $$c = \log_4 5 \approx 1.161$$。
因此 $$c < b < a$$。
答案：$$B$$。
8. 由 $$\log_2 x = 4$$，得 $$x = 2^4 = 16$$。
则 $$x^{-\frac{1}{2}} = 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}$$。
答案：$$D$$。
9. 由 $$f(2) + f(4) = 1$$，得 $$\log_2 2 + a + \log_2 4 + a = 1$$。
化简得 $$1 + a + 2 + a = 1$$，即 $$2a = -2$$，所以 $$a = -1$$。
答案：$$B$$。
10. 先计算 $$2Θ4$$，因为 $$2 < 4$$，所以 $$2Θ4 = \log_2 4 = 2$$。
然后计算 $$8Θ2$$，因为 $$8 > 2$$，所以 $$8Θ2 = \log_8 2 = \frac{1}{3}$$。
答案：$$B$$。