对数恒等式-对数知识点考前基础单选题自测题解析-云南省等高一数学必修,平均正确率60.0%

1、['对数恒等式'， '分段函数求值']

正确率60.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{\{}{{^{{e}{{x}{+}{{l}{n}}{2}}{，}{x}{⩽}{0}{，}}_{{f}{(}{x}{−}{3}{)}{，}{x}{>}{0}{，}}}}}}$$则$${{f}{(}{{2}{0}{2}{1}}{)}{=}}$$（）

A.$${{\frac{2}{e}}}$$

B.$${{2}{e}}$$

C.$${{\frac{2}_{{e}^{2}}}}$$

D.$${{2}{{e}^{2}}}$$

2、['实数指数幂的运算性质'， '对数恒等式']

正确率80.0%$${{2}{{1}{−}{{l}{o}{g}_{2}}{3}}{=}}$$（）

A.$${{\frac{2}{3}}}$$

B.$${{\frac{3}{2}}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{1}}$$

3、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']

正确率60.0%已知函数$$None$$，则$${{f}{(}{−}{1}{+}{{l}{n}}{5}{)}}$$的值为（）

A.$${{\frac{1}{5}}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{\frac{e}{5}}}$$

D.$${{\frac{5}{e}}}$$

4、['对数恒等式'， '不等式比较大小'， '幂函数的特征']

正确率40.0%若$${{m}{，}{n}{，}{p}{∈}{(}{0}{，}{1}{)}}$$，且$${{l}{o}{g}_{3}{m}{=}{{l}{o}{g}_{5}}{n}{=}{l}{g}{p}{，}}$$则$${{(}{)}}$$

A.$${{m}{{\frac{1}{3}}}{<}{{n}{{\frac{1}{5}}}}{<}{{p}{{\frac{1}{{1}{0}}}}}}$$

B.$${{n}{{\frac{1}{3}}}{<}{{m}{{\frac{1}{5}}}}{<}{{p}{{\frac{1}{{1}{0}}}}}}$$

C.$${{p}{{\frac{1}{{1}{0}}}}{<}{{m}{{\frac{1}{3}}}}{<}{{n}{{\frac{1}{5}}}}}$$

D.$${{m}{{\frac{1}{3}}}{<}{{p}{{\frac{1}{{1}{0}}}}}{<}{{n}{{\frac{1}{5}}}}}$$

5、['判断元素与集合的关系'， '对数恒等式'， '命题的真假性判断']

正确率60.0%下列命题是真命题的是$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$比$${{5}}$$大

B.$${{0}{∉}{N}}$$

C.$${{1}}$$的平方根是$${{1}}$$

D.$${{l}{g}{1}{=}{0}}$$

6、['函数奇、偶性的定义'， '函数的周期性'， '对数恒等式']

正确率60.0%定义在$${{R}}$$上的函数$${{f}{{(}{x}{)}}}$$满足$${{f}{(}{−}{x}{)}{=}{−}{f}{(}{x}{)}{，}{f}{(}{x}{)}{=}{f}{(}{x}{+}{4}{)}}$$，且当$${{x}{∈}{{(}{−}{1}{，}{0}{)}}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}{+}{{\frac{1}{5}}}}$$则$${{f}{{(}{{l}{o}{g}_{2}}{{2}{0}}{)}}{=}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{\frac{4}{5}}}$$

C.$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{{\frac{4}{5}}}}$$

7、['对数的性质'， '对数恒等式'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%$${{2}{7}{{\frac{2}{3}}}{+}{l}{g}{{0}{.}{0}{1}}{=}{（}}$$）

A.$${{1}{1}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{0}}$$

D.$${{6}}$$

8、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '分段函数求值']

正确率60.0%设$${{f}{{(}{x}{)}}{=}{{\{}{{{{2}^{x}{，}{x}{⩾}{1}}_{{f}{(}{x}{+}{2}{)}{，}{x}{<}{1}}}}}}$$，则$${{f}{(}{{l}{o}{g}{{0}{.}{5}}}{{1}{.}{5}}{)}{=}{（}}$$）

A.$${{−}{{\frac{3}{8}}}}$$

B.$${{\frac{3}{8}}}$$

C.$${{\frac{8}{3}}}$$

D.$${{−}{{\frac{8}{3}}}}$$

9、['有理数指数幂的运算性质'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']

正确率60.0%若$${{x}{{l}{o}{g}_{2}}{3}{=}{1}}$$，则$${{3}^{x}{+}{{9}^{x}}}$$的值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{\frac{5}{2}}}$$

D.$${{\frac{1}{2}}}$$

10、['对数恒等式'， '对数的运算性质'， '对数的换底公式及其推论']

正确率60.0%若$${{l}{g}{2}{=}{a}{，}{l}{g}{3}{=}{b}}$$，则$${{l}{o}{g}_{2}{6}{=}{（}}$$）

A.$${{a}{b}}$$

B.$${{\frac{{1}{+}{b}}{a}}}$$

C.$${{\frac{b}{a}}}$$

D.$${{\frac{{a}{+}{b}}{a}}}$$

1. 解析：函数$$f(x)$$在$$x \leq 0$$时为$$e^x + \ln 2$$，在$$x > 0$$时递归为$$f(x-3)$$。计算$$f(2021)$$时，需不断减去3直到$$x \leq 0$$：

$$2021 - 3 \times 673 = 2021 - 2019 = 2$$ $$2 - 3 = -1$$ 此时$$x = -1 \leq 0$$，代入得： $$f(-1) = e^{-1} + \ln 2 = \frac{1}{e} + \ln 2$$ 但选项中没有此结果，可能是题目描述有误或选项不全。

2. 解析：计算$$2^{1 - \log_2 3}$$：

利用指数和对数性质： $$2^{1 - \log_2 3} = 2^1 \times 2^{-\log_2 3} = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ 答案为A。

3. 解析：题目描述不完整，函数未给出，无法计算。

4. 解析：设$$\log_3 m = \log_5 n = \lg p = k$$，则：

$$m = 3^k, \quad n = 5^k, \quad p = 10^k$$ 由于$$m, n, p \in (0,1)$$，$$k$$为负数。比较各选项的指数形式： $$m^{1/3} = 3^{k/3}, \quad n^{1/5} = 5^{k/5}, \quad p^{1/10} = 10^{k/10}$$ 由于$$3^{1/3} < 5^{1/5} < 10^{1/10}$$，且$$k$$为负，不等号方向反转： $$m^{1/3} > n^{1/5} > p^{1/10}$$ 无完全匹配选项，可能是题目或选项有误。

5. 解析：判断各命题真假：

A. 3比5大，假； B. 0不属于自然数，假（通常$$N$$包含0）； C. 1的平方根是$$\pm 1$$，不完整，假； D. $$\lg 1 = 0$$，真。答案为D。

6. 解析：函数$$f(x)$$为奇函数且周期为4。计算$$f(\log_2 20)$$：

$$\log_2 20 \approx 4.3219$$ 减去周期4得： $$\log_2 20 - 4 = \log_2 \frac{20}{16} = \log_2 1.25 \approx 0.3219$$ 由于$$x \in (0,1)$$，利用奇函数性质： $$f(\log_2 1.25) = -f(-\log_2 1.25)$$ $$-\log_2 1.25 \in (-1,0)$$，代入给定表达式： $$f(-\log_2 1.25) = 2^{-\log_2 1.25} + \frac{1}{5} = \frac{1}{1.25} + \frac{1}{5} = 0.8 + 0.2 = 1$$ 因此： $$f(\log_2 20) = -1$$ 答案为C。

7. 解析：计算$$27^{2/3} + \lg 0.01$$：

$$27^{2/3} = (3^3)^{2/3} = 3^2 = 9$$ $$\lg 0.01 = \lg 10^{-2} = -2$$ 结果为$$9 - 2 = 7$$，答案为B。

8. 解析：函数$$f(x)$$在$$x \geq 1$$时为$$2^x$$，否则递归为$$f(x+2)$$。计算$$f(\log_{0.5} 1.5)$$：

$$\log_{0.5} 1.5 = -\log_2 1.5 \approx -0.58496$$ 递归两次： $$-0.58496 + 2 = 1.41504 \geq 1$$ 代入得： $$f(1.41504) = 2^{1.41504} \approx 2.665$$ 但选项中最接近的是$$\frac{8}{3} \approx 2.666$$，答案为C。

9. 解析：已知$$x \log_2 3 = 1$$，求$$3^x + 9^x$$：

$$x = \frac{1}{\log_2 3} = \log_3 2$$ $$3^x = 3^{\log_3 2} = 2$$ $$9^x = (3^2)^{\log_3 2} = 3^{2 \log_3 2} = (3^{\log_3 2})^2 = 2^2 = 4$$ 结果为$$2 + 4 = 6$$，答案为B。

10. 解析：已知$$\lg 2 = a$$，$$\lg 3 = b$$，求$$\log_2 6$$：

$$\log_2 6 = \frac{\lg 6}{\lg 2} = \frac{\lg 2 + \lg 3}{\lg 2} = \frac{a + b}{a}$$ 答案为D。

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