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正确率40.0%已知$${{m}{>}{0}{，}{n}{>}{0}}$$，$${{l}{o}{g}_{2}{m}{=}{{l}{o}{g}_{4}}{n}{=}{{l}{o}{g}_{8}}{(}{4}{m}{+}{3}{n}{)}{，}}$$下列结论正确的是（）
C
A.$${{n}{=}{2}{m}}$$
B.$${{\frac{{l}{n}{m}}{{l}{n}{n}}}{=}{−}{2}{l}{n}{2}}$$
C.$${{e}^{{\frac{1}{m}}{{l}{n}{n}}}{=}{2}}$$
D.$${{l}{o}{g}_{3}{m}{−}{2}{{l}{o}{g}_{9}}{n}{=}{2}{{l}{o}{g}_{3}}{2}}$$
2、['等比数列的性质'， '对数的运算性质']正确率40.0%在各项均为正数的等比数列$${{\{}{{b}_{n}}{\}}}$$中，若$${{b}_{7}{⋅}{{b}_{8}}{{=}{3}}{，}}$$则$${{l}{{o}{g}_{3}}{{b}_{1}}{+}{l}{{o}{g}_{3}}{{b}_{2}}{{+}{⋯}{+}}{l}{{o}{g}_{3}}{{b}{{1}{4}}}}$$等于（）
C
A.$${{5}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
3、['数列的前n项和'， '数列的函数特征'， '对数方程与对数不等式的解法'， '对数的运算性质']正确率40.0%已知数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}}$$，通项公式$${{a}_{n}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{{\frac{{n}{+}{1}}{{n}{+}{2}}}}{(}{n}{∈}{{N}^{∗}}{)}}$$，则满足不等式$${{S}_{n}{<}{−}{6}}$$的$${{n}}$$的最小值是（）
D
A.$${{6}{2}}$$
B.$${{6}{3}}$$
C.$${{1}{2}{6}}$$
D.$${{1}{2}{7}}$$
5、['函数奇、偶性的定义'， '函数的周期性'， '对数恒等式'， '对数的运算性质']正确率40.0%已知$${{f}{(}{x}{)}}$$是定义在$${{R}}$$上的偶函数，$${{f}{(}{x}{+}{1}{)}}$$是奇函数，且$${{x}{∈}{(}{−}{1}{，}{0}{)}}$$时，$${{f}{(}{x}{)}{=}{{2}^{x}}{+}{{\frac{1}{5}}}}$$则$${{f}{(}{{l}{o}{g}_{2}}{{2}{0}}{)}{=}{（}}$$）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{\frac{4}{5}}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{−}{{\frac{4}{5}}}}$$
6、['函数奇偶性的应用'， '函数求值'， '对数的运算性质']正确率60.0%设函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{a}{{l}{n}}{(}{x}{+}{\sqrt {{1}{+}{{x}^{2}}}}{)}{+}{b}{{s}{i}{n}}{2}{x}{+}{3}}$$，若$${{f}{(}{l}{n}{l}{n}{2}{)}{=}{4}}$$，则$${{f}{(}{l}{n}{l}{o}{{g}_{2}}{e}{)}{=}{(}{)}}$$
B
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['对数式的大小的比较'， '对数的运算性质']正确率60.0%设$${{a}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{3}{，}{b}{=}{{l}{o}{g}_{4}}{6}{，}{c}{=}{{1}{0}{{l}{g}{2}}}}$$，则（）
B
A.$${{a}{=}{b}{>}{c}}$$
B.$${{c}{>}{a}{>}{b}}$$
C.$${{c}{>}{b}{>}{a}}$$
D.$${{a}{>}{b}{>}{c}}$$
8、['对数（型）函数的单调性'， '对数的运算性质'， '利用函数单调性比较大小']正确率60.0%若$${{a}{=}{(}{{\frac{2}{3}}}{{)}^{2}}{，}{b}{=}{{l}{o}{g}_{2}}{3}{，}{c}{=}{{l}{o}{g}_{4}}{6}}$$，则$${{a}{，}{b}{，}{c}}$$的大小关系是（）
B
A.$${{a}{<}{b}{<}{c}}$$
B.$${{a}{<}{c}{<}{b}}$$
C.$${{c}{<}{b}{<}{a}}$$
D.$${{b}{<}{c}{<}{a}}$$
9、['函数求值'， '对数的运算性质']正确率60.0%已知函数$${{f}{（}{2}{x}{）}{=}{l}{o}{{g}_{3}}{（}{8}{{x}^{2}}{+}{7}{）}}$$，那么$${{f}{（}{1}{）}}$$等于（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{l}{o}{{g}_{3}}{{3}{9}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{l}{o}{{g}_{3}}{{1}{5}}}$$
10、['有理数指数幂的运算性质'， '对数的运算性质']正确率60.0%素数也叫质数，部分素数可写成$${{“}{{2}^{n}}{−}{1}{”}}$$的形式$${（{n}}$$是素数），法国数学家马丁$${{⋅}}$$梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将$${{“}{{2}^{n}}{−}{1}{”}}$$形式$${（{n}}$$是素数）的素数称为梅森素数．已知第$${{2}{0}}$$个梅森素数为$${{P}{=}{{2}{{4}{4}{2}{3}}}{−}{1}}$$，第$${{1}{9}}$$个梅森素数为$${{Q}{=}{{2}{{4}{2}{5}{3}}}{−}{1}}$$，则下列各数中与$${{\frac{P}{Q}}}$$最接近的数为（$${）{（}}$$参考数据：$${{l}{g}{2}{≈}{{0}{.}{3}}{）}}$$
B
A.$${{1}{0}{{4}{5}}}$$
B.$${{1}{0}{{5}{1}}}$$
C.$${{1}{0}{{5}{6}}}$$
D.$${{1}{0}{{5}{9}}}$$
1. 设 $$k = \log_2 m = \log_4 n = \log_8 (4m + 3n)$$，则：
$$m = 2^k$$，$$n = 4^k = 2^{2k}$$，$$4m + 3n = 8^k = 2^{3k}$$
代入得：$$4 \cdot 2^k + 3 \cdot 2^{2k} = 2^{3k}$$
设 $$t = 2^k$$，方程化为：$$4t + 3t^2 = t^3$$，即 $$t^3 - 3t^2 - 4t = 0$$
解得 $$t = 4$$（舍去 $$t = 0$$ 和 $$t = -1$$），故 $$k = 2$$，$$m = 4$$，$$n = 16$$
验证选项：
A. $$n = 16 = 2 \times 8 \neq 2m$$（错误）
B. $$\frac{\ln m}{\ln n} = \frac{\ln 4}{\ln 16} = \frac{1}{2} \neq -2\ln 2$$（错误）
C. $$e^{\frac{1}{m} \ln n} = e^{\frac{1}{4} \ln 16} = e^{\ln 2} = 2$$（正确）
D. $$\log_3 m - 2\log_9 n = \log_3 4 - \log_3 16 = \log_3 \frac{4}{16} = \log_3 \frac{1}{4} \neq 2\log_3 2$$（错误）
答案为 C
2. 等比数列 $$\{b_n\}$$ 中，$$b_1 \cdot b_{14} = b_2 \cdot b_{13} = \cdots = b_7 \cdot b_8 = 3$$
所求和为 $$\log_3 b_1 + \log_3 b_2 + \cdots + \log_3 b_{14} = \log_3 (b_1 b_2 \cdots b_{14})$$
$$= \log_3 (3^7) = 7$$
答案为 C
3. $$a_n = \log_2 \frac{n+1}{n+2}$$，则 $$S_n = \log_2 \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{n+1}{n+2}\right) = \log_2 \frac{2}{n+2}$$
不等式 $$S_n < -6$$ 即 $$\frac{2}{n+2} < 2^{-6}$$，解得 $$n + 2 > 128$$，$$n > 126$$
最小整数 $$n = 127$$
答案为 D
5. 由题意，$$f(x)$$ 是偶函数，$$f(x+1)$$ 是奇函数，故 $$f(-x) = f(x)$$，$$f(x+1) = -f(-x+1)$$
代入 $$x = 0$$ 得 $$f(1) = -f(1)$$，即 $$f(1) = 0$$
又 $$f(\log_2 20) = f(-\log_2 20) = f(\log_2 \frac{5}{4})$$
由 $$f(x+1)$$ 为奇函数，$$f(x)$$ 关于点 $$(1, 0)$$ 对称，故 $$f(x) + f(2 - x) = 0$$
$$f(\log_2 \frac{5}{4}) = -f(2 - \log_2 \frac{5}{4}) = -f(\log_2 \frac{16}{5})$$
由于 $$\log_2 \frac{16}{5} \in (1, 2)$$，利用对称性和已知区间表达式计算得 $$f(\log_2 20) = -1$$
答案为 C
6. 设 $$g(x) = f(x) - 3 = a \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) + b \sin 2x$$，则 $$g$$ 为奇函数
$$f(\ln \ln 2) = 4$$ 即 $$g(\ln \ln 2) = 1$$，故 $$g(-\ln \ln 2) = -1$$
$$f(\ln \log_2 e) = f(-\ln \ln 2) = g(-\ln \ln 2) + 3 = 2$$
答案为 B
7. 计算得：
$$a = \log_2 3 \approx 1.585$$
$$b = \log_4 6 = \frac{1}{2} \log_2 6 \approx 1.292$$
$$c = 10^{\lg 2} = 2$$
故 $$c > a > b$$
答案为 B
8. 计算得：
$$a = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \approx 0.444$$
$$b = \log_2 3 \approx 1.585$$
$$c = \log_4 6 \approx 1.292$$
故 $$a < c < b$$
答案为 B
9. 令 $$x = \frac{1}{2}$$，则 $$f(1) = \log_3 \left(8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 7\right) = \log_3 9 = 2$$
答案为 A
10. $$\frac{P}{Q} = \frac{2^{4423} - 1}{2^{4253} - 1} \approx 2^{4423 - 4253} = 2^{170}$$
取对数得 $$\lg \left(\frac{P}{Q}\right) \approx 170 \lg 2 \approx 51$$，故 $$\frac{P}{Q} \approx 10^{51}$$
答案为 B