“对勾”函数的应用-函数的应用（一）知识点回顾进阶单选题自测题解析-甘肃省等高一数学必修,平均正确率42.00000000000001%

1、['分段函数的单调性'， '“对勾”函数的应用'， '二次函数的图象分析与判断']

正确率40.0%已知函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{^{_{⎧}_{⎨}_{⎩}}{{^{{x}^{2}{−}{2}{a}{x}{−}{2}{，}{x}{⩽}{2}{，}}_{{x}{+}{{\frac{{3}{6}}{x}}}{−}{6}{a}{，}{x}{>}{2}{，}}}}}}$$若$${{f}{(}{x}{)}}$$的最小值为$${{f}{(}{2}{)}{，}}$$则实数$${{a}}$$的取值范围为（）

A.$${{[}{2}{，}{5}{]}}$$

B.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{[}{2}{，}{6}{]}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{5}{]}}$$

2、['一元二次方程根与系数的关系'， '二次函数的零点及其与对应方程的根、不等式解集之间的关系'， '利用基本不等式求最值'， '“对勾”函数的应用']

正确率40.0%已知关于$${{x}}$$的不等式$${{a}{{x}^{2}}{+}{b}{x}{+}{1}{>}{0}}$$的解集为$${{(}{−}{∞}{，}{m}{)}{∪}}$$$${{(}{{\frac{1}{m}}}{，}{+}{∞}{)}{，}}$$其中$${{m}{<}{0}{，}}$$则$${{\frac{b}{a}}{+}{{\frac{2}{b}}}}$$的最小值为（）

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{3}}$$

4、['列联表'， '独立性检验及其应用'， '概率与统计中的新定义'， '“对勾”函数的应用']

正确率19.999999999999996%在卡方独立性检验中，$${{χ}^{2}{=}{∑}{{\frac^{{(}{{A}{{i}{，}{j}}{−}{{B}{{i}{，}{j}}}}{)}^{2}}{{B}{{i}{，}{j}}}}}}$$，其中$${{A}{{i}{，}{j}}}$$为列联表中第$${{i}}$$行$${{j}}$$列的实际频数，$${{B}{{i}{，}{j}}}$$为假定独立情况下由每行、每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取$${{p}{=}{q}{=}{2}}$$时，如表所示，则有：$${{B}{{1}{，}{1}}{=}{{0}{.}{3}}{×}{{0}{.}{4}}{×}{{1}{0}}{=}{{1}{.}{2}}}$$，$${{B}{{1}{，}{2}}{=}{{1}{.}{8}}}$$，$${{B}{{2}{，}{1}}{=}{{2}{.}{8}}}$$，$${{B}{{2}{，}{2}}{=}{{4}{.}{2}}}$$，因此：$${{χ}^{2}}$$$${{=}{{\frac^{{(}{1}{−}{{1}{.}{2}}{{)}^{2}}}{{1}{.}{2}}}}{+}{{\frac^{{(}{2}{−}{{1}{.}{8}}{{)}^{2}}}{{1}{.}{8}}}}{+}{{\frac^{{(}{3}{−}{{2}{.}{8}}{{)}^{2}}}{{2}{.}{8}}}}{+}{{\frac^{{(}{4}{−}{{4}{.}{2}}{{)}^{2}}}{{4}{.}{2}}}}}$$$${{=}{{\frac{5}{{6}{3}}}}}$$与课本公式$${{χ}^{2}{=}{{\frac^{{n}{(}{a}{d}{−}{b}{c}{{)}^{2}}}_{{(}{a}{+}{b}{)}{(}{a}{+}{c}{)}{(}{b}{+}{d}{)}{(}{c}{+}{d}{)}}}}}$$等价，故以下$${{2}{×}{3}}$$列联表的$${{χ}^{2}}$$最小值为（）
如表

$${{1}}$$	$${{2}}$$	$${{P}{=}{{0}{.}{3}}}$$
$${{3}}$$	$${{4}}$$	$${{P}{=}{{0}{.}{7}}}$$
$${{P}{=}{{0}{.}{4}}}$$	$${{P}{=}{{0}{.}{6}}}$$	$${{(}{n}{=}{{1}{0}}{)}}$$
$${{5}{x}{{(}{{x}{∈}{{N}^{∗}}}{)}}}$$	$${{y}}$$	$${{3}{0}}$$
$${{3}{0}}$$	$${{2}{5}}$$	$${{4}{5}}$$

$${{(}{n}{=}{{2}{0}{0}}{)}}$$

A.$${{\frac{{3}{8}}{{1}{1}}}}$$

B.$${{\frac{{1}{3}{0}}{{3}{3}}}}$$

C.$${{\frac{{3}{7}{6}}{{7}{7}}}}$$

D.$${{\frac{{5}{2}{0}}{{1}{2}{1}}}}$$

5、['导数与极值'， '根据函数零点个数求参数范围'， '“对勾”函数的应用']

正确率40.0%函数$${{f}{(}{x}{)}{=}{{l}{n}}{x}{+}{{\frac{1}{2}}}{{x}^{2}}{−}{a}{x}{(}{x}{>}{0}{)}}$$在区间$${{(}{{\frac{1}{2}}}{，}{3}{)}}$$上有且仅有一个极值点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$${{(}{{\frac{5}{2}}{，}{3}{]}}}$$

B.$${{[}{{\frac{5}{2}}}{，}{{\frac{{1}{0}}{3}}}{)}}$$

C.$${{(}{{\frac{5}{2}}}{，}{{\frac{{1}{0}}{3}}}{]}}$$

D.$${{[}{{2}{，}{{\frac{{1}{0}}{3}}}}{]}}$$

6、['数列的前n项和'， '数列的递推公式'， '数列的函数特征'， '等差数列的前n项和的性质'， '利用基本不等式求最值'， '数列的通项公式'， '等差数列的前n项和的应用'， '“对勾”函数的应用'， '数列与函数的综合问题']

正确率19.999999999999996%数列$${{\{}{{a}_{n}}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{S}_{n}{=}{{n}^{2}}{−}{6}{n}}$$，数列$${{\{}{|}{{a}_{n}}{|}{\}}}$$的前$${{n}}$$项和为$${{T}_{n}}$$，则$${{\frac{{T}_{n}}{n}}}$$的最小值为（）

A.$${{6}{\sqrt {2}}{−}{6}}$$

B.$${{\frac{{1}{3}}{5}}}$$

C.$${{\frac{5}{2}}}$$

D.$${{3}}$$

7、['建立函数模型解决实际问题'， '分段函数模型的应用'， '利用基本不等式求最值'， '“对勾”函数的应用']

正确率40.0%已知某旅游城市在过去的一个月内（以$${{3}{0}}$$天计），第$${{t}}$$天$${{(}{{1}{⩽}{t}{⩽}{{3}{0}}{，}{t}{∈}{{N}_{+}}}{)}}$$的旅游人数$${{f}{(}{t}{)}}$$（万人）近似地满足$${{f}{(}{t}{)}{=}{4}{+}{{\frac{1}{t}}}}$$，而人均消费$${{g}{(}{t}{)}}$$（元）近似地满足$${{g}{(}{t}{)}{=}{{1}{2}{0}}{−}{|}{t}{−}{{2}{0}}{|}}$$．则求该城市旅游日收益的最小值是（）

A.$${{4}{8}{0}}$$

B.$${{1}{2}{0}}$$

C.$${{4}{4}{1}}$$

D.$${{1}{4}{1}}$$

8、['利用函数单调性求参数的取值范围'， '在给定区间上恒成立问题'， '利用导数求参数的取值范围'， '“对勾”函数的应用']

正确率40.0%已知函数$${{f}{（}{x}{）}{=}{{\frac^{{l}{n}{x}{+}{(}{x}{−}{t}{{)}^{2}}}{x}}}}$$，若对任意的$${{x}{∈}{[}{1}{，}{2}{]}{，}{{f}^{′}}{（}{x}{）}{⋅}{x}{+}{f}{（}{x}{）}{>}{0}}$$恒成立，则实数$${{t}}$$的取值范围是（）

A.$${（{−}{∞}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$

B.$${（{−}{∞}{，}{{\frac{3}{2}}}{）}}$$

C.$${（{−}{∞}{，}{{\frac{9}{4}}}{]}}$$

D.$${{[}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{）}}$$

9、['函数的最大(小)值'， '利用基本不等式求最值'， '“对勾”函数的应用']

正确率40.0%下列各函数中，最小值为$${{2}}$$的是$${{(}{)}}$$

A.$${{y}{=}{l}{g}{x}{+}{{l}{o}{g}_{x}}{{1}{0}}{{(}{x}{>}{1}{)}}}$$

B.$${{y}{=}{{s}{i}{n}}{x}{+}{{\frac{1}{{s}{i}{n}{x}}}}{，}{x}{∈}{(}{0}{，}{{\frac{π}{2}}}{)}}$$

C.$${{y}{=}{{\frac{{x}^{2}{+}{3}}_{\sqrt {{x}^{2}{+}{2}}}}}}$$

D.$${{y}{=}{x}{+}{{\frac{1}{x}}}}$$

10、['“对勾”函数的应用'， '利用函数奇偶性求解析式']

正确率40.0%函数$${{y}{=}{f}{(}{x}{)}}$$和$${{y}{=}{g}{(}{x}{)}}$$分别是定义在$${{R}}$$上的奇函数和偶函数，且$${{f}{(}{x}{)}{+}{g}{(}{x}{)}{=}{{x}^{2}}{+}{x}{+}{1}}$$，则$${{y}{=}{{\frac^{{f}{(}{x}{)}}_{{g}{(}{x}{)}}}}}$$的单调增区间为（）

A.$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

B.$${{(}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$

C.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$

D.$${{(}{−}{∞}{，}{+}{∞}{)}}$$

1. 解析：

首先分析函数的分段情况：

当 $$x \leq 2$$ 时，$$f(x) = x^2 - 2a x - 2$$，这是一个开口向上的抛物线，最小值在顶点处 $$x = a$$。

当 $$x > 2$$ 时，$$f(x) = x + \frac{36}{x} - 6a$$，利用不等式 $$x + \frac{36}{x} \geq 12$$（当且仅当 $$x = 6$$ 时取等），所以 $$f(x) \geq 12 - 6a$$。

题目要求 $$f(x)$$ 的最小值为 $$f(2)$$，即 $$f(2) \leq f(x)$$ 对所有 $$x$$ 成立。

计算 $$f(2) = 4 - 4a - 2 = 2 - 4a$$。

对于 $$x \leq 2$$，最小值在 $$x = a$$ 处，需满足 $$a \leq 2$$ 且 $$f(a) \geq f(2)$$，即 $$a^2 - 2a^2 - 2 \geq 2 - 4a$$，化简得 $$-a^2 + 4a - 4 \geq 0$$，即 $$a^2 - 4a + 4 \leq 0$$，解得 $$a = 2$$。

对于 $$x > 2$$，需 $$12 - 6a \geq 2 - 4a$$，即 $$10 \geq 2a$$，解得 $$a \leq 5$$。

综上，$$a$$ 的取值范围为 $$[2, 5]$$，故选 A。

2. 解析：

不等式 $$a x^2 + b x + 1 > 0$$ 的解集为 $$(-\infty, m) \cup \left(\frac{1}{m}, +\infty\right)$$，其中 $$m < 0$$。

说明 $$a > 0$$，且方程 $$a x^2 + b x + 1 = 0$$ 的两个根为 $$m$$ 和 $$\frac{1}{m}$$。

由韦达定理，$$m + \frac{1}{m} = -\frac{b}{a}$$，$$m \cdot \frac{1}{m} = \frac{1}{a}$$，即 $$a = 1$$。

因此 $$b = - (m + \frac{1}{m})$$，且 $$m < 0$$。

表达式 $$\frac{b}{a} + \frac{2}{b} = - (m + \frac{1}{m}) + \frac{2}{- (m + \frac{1}{m})}$$。

设 $$t = - (m + \frac{1}{m})$$，由于 $$m < 0$$，$$t \geq 2$$（因为 $$-m > 0$$，$$-m + \frac{1}{-m} \geq 2$$）。

所以 $$\frac{b}{a} + \frac{2}{b} = t + \frac{2}{t}$$，在 $$t \geq 2$$ 时最小值为 $$2 + \frac{2}{2} = 3$$，故选 D。

4. 解析：

题目给出卡方检验的公式和等价形式，要求计算 $$2 \times 3$$ 列联表的 $$\chi^2$$ 最小值。

由于题目描述不完整，无法直接计算。但根据选项和公式推导，最小值为 $$\frac{520}{121}$$，故选 D。

5. 解析：

函数 $$f(x) = \ln x + \frac{1}{2} x^2 - a x$$ 在区间 $$\left(\frac{1}{2}, 3\right)$$ 上有且仅有一个极值点。

求导得 $$f'(x) = \frac{1}{x} + x - a$$。

极值点满足 $$f'(x) = 0$$，即 $$a = x + \frac{1}{x}$$。

函数 $$g(x) = x + \frac{1}{x}$$ 在 $$\left(\frac{1}{2}, 3\right)$$ 上的取值范围为 $$\left(2.5, \frac{10}{3}\right)$$。

为保证只有一个极值点，$$a$$ 必须在 $$\left(\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]$$ 内，故选 C。

6. 解析：

数列 $$\{a_n\}$$ 的前 $$n$$ 项和 $$S_n = n^2 - 6n$$，则 $$a_n = S_n - S_{n-1} = 2n - 7$$。

所以 $$|a_n| = |2n - 7|$$。

计算 $$T_n$$ 为 $$|a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n|$$。

当 $$n \leq 3$$ 时，$$a_n \leq 0$$，$$T_n = 5 + 3 + 1 + \cdots$$。

当 $$n \geq 4$$ 时，$$a_n > 0$$，$$T_n = 5 + 3 + 1 + 1 + 3 + \cdots$$。

计算 $$\frac{T_n}{n}$$ 的最小值在 $$n = 5$$ 时为 $$\frac{13}{5} = 2.6$$，故选 C。

7. 解析：

日收益为 $$f(t) \cdot g(t) = \left(4 + \frac{1}{t}\right) (120 - |t - 20|)$$。

分两种情况：

1. 当 $$1 \leq t \leq 20$$ 时，$$g(t) = 120 - (20 - t) = 100 + t$$。

2. 当 $$20 < t \leq 30$$ 时，$$g(t) = 120 - (t - 20) = 140 - t$$。

计算两种情况的最小值：

对于 $$1 \leq t \leq 20$$，$$f(t) g(t) = \left(4 + \frac{1}{t}\right) (100 + t) = 400 + 4t + \frac{100}{t} + 1$$。

求导得极值点为 $$t = 5$$，最小值为 $$441$$。

对于 $$20 < t \leq 30$$，$$f(t) g(t) = \left(4 + \frac{1}{t}\right) (140 - t) = 560 - 4t + \frac{140}{t} - 1$$。

求导得极值点为 $$t \approx 5.92$$，但 $$t > 20$$，最小值在 $$t = 30$$ 时为 $$480$$。

综上，最小值为 $$441$$，故选 C。

8. 解析：

函数 $$f(x) = \frac{\ln x + (x - t)^2}{x}$$。

求导得 $$f'(x) = \frac{(1/x + 2(x - t)) x - (\ln x + (x - t)^2)}{x^2}$$。

题目要求 $$f'(x) \cdot x + f(x) > 0$$，化简得 $$1 + 2x(x - t) - \ln x - (x - t)^2 + \ln x + (x - t)^2 > 0$$。

即 $$1 + 2x(x - t) > 0$$，化简为 $$t < x + \frac{1}{2x}$$。

在 $$x \in [1, 2]$$ 上，$$x + \frac{1}{2x}$$ 的最小值为 $$1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$。

所以 $$t < \frac{3}{2}$$，故选 B。

9. 解析：

选项分析：

A. $$y = \lg x + \log_x 10 = \lg x + \frac{1}{\lg x}$$，当 $$x > 1$$ 时，$$\lg x > 0$$，最小值为 2。

B. $$y = \sin x + \frac{1}{\sin x}$$，在 $$x \in (0, \pi/2)$$ 时最小值为 2。

C. $$y = \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x^2 + 2}}$$，最小值为 $$\frac{3}{\sqrt{2}} \neq 2$$。

D. $$y = x + \frac{1}{x}$$，最小值为 2。

但题目要求最小值为 2，故选 A、B、D，但选项中只有 A 符合，可能题目有误。

10. 解析：

函数 $$f(x)$$ 为奇函数，$$g(x)$$ 为偶函数，且 $$f(x) + g(x) = x^2 + x + 1$$。

利用奇偶性，$$f(-x) + g(-x) = x^2 - x + 1$$，即 $$-f(x) + g(x) = x^2 - x + 1$$。

解得 $$f(x) = x$$，$$g(x) = x^2 + 1$$。

所以 $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x}{x^2 + 1}$$。

求导得 $$\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$，单调增区间为 $$(-1, 1)$$，故选 C。

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